Woche 6 – mathe4wiwi

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
4	Finanzmathematische Renten	50-66	4k-n	2.4	2.4
	Kontinuierliche Zahlungsströme	67-82	4o-q	4.3.4	4.3.4
					Quiz
					PS-Übungsaufgabe

Finanzmathematische Renten

Kontinuierliche Zahlungsströme

Quiz

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Welche Aussagen bzgl. der Rentenrechnung (bei positivem Zinssatz) sind richtig?

Bei einer ewigen Rene müssen der periodische Zinsgewinn und die periodische Auszahlung gleich hoch sein.Der Barwert einer vorschüssigen Rente ist ceteris paribus höher als der der entsprechenden nachschüssigen Rente.Eine Rente ist eine periodische Folge von Zahlungen, die gleich hoch sind.Der Barwert einer Rente entspricht der einfachen Summe der Zahlungen.Der Endwert einer Rente ist immer niederiger als die Summe der Zahlungen.

Details zur Rentenrechnung werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Finanzmathematische Renten vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.4.

Richtig. So wird eine ewige Rente konstruiert.
Richtig. Wenn die Zahlungen bereits vorschüssig (und nicht erst nachschüssig) erfolgen, muss einmal weniger abgezinst werden.
Richtig. Das ist die Definition einer (finanzmathematischen) Rente.
Falsch. Weder Barwert noch Endwert entsprechen einfach der Summe der Zahlungen. In beiden Fällen muss ab- bzw. aufgezinst werden.
Falsch. Aufgrund der Zinsen ist der Endwert immer höher als die Summe der Zahlungen.

Welche der folgenden Aussagen zu kontinuierlichen Zahlungsströmen sind richtig?

Die Veränderungsrate ergibt sich aus der Verzinsung des aktuellen Kapitals und dem Zufluss aus dem Zahlungsstrom.Ein konstanter Zahlungsstrom ist das kontinuierliche Gegenstück zur Rente.Ein kontinuierlicher Zahlungstrom hat immer eine konstante Veränderungsrate.Für den Barwert muss man den abgezinsten Zahlungsstrom durch Integration aggregieren.Der Endwert eines Zahlungsstroms ist das Produkt von Anfangskapital und Wachstumsfaktor.

Details finden Sie in den VO-Folien im Abschnitt Kontinuierliche Zahlungsströme vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 4.3.3.

Richtig. Die Veränderungsrate \(K'(t)\) ist gegeben durch die Verzinsung \(c K(t)\) plus dem Zufluss \(a(t)\).
Richtig. Auch beim konstanten Zahlungsstrom werden Zahlungen gleichbleibender Höhe über einen vorgegebenen Zeitraum behandelt, allerdings kontinuierlich und nicht diskret.
Falsch. Die Veränderungsrate kann auch eine nicht-konstante Funktion \(a(t)\) sein. Die VO behandelt insbesondere lineare Zahlungsströme.
Richtig. Der Zahlungsstrom wird mit der bisherigen Laufzeit abgezinst und dann durch Integration zum Endwert aufaggregiert.
Falsch. Zum aufgezinsten Anfangskapital müssen noch der aggregierte aufgezinste Zahlungsstrom addiert werden.

Eine Immobilienfirma besitzt ein großes Kaufhaus in bester Lage in der Innsbrucker Innenstadt. Der Manager der Immobilienfirma möchte den Wert des Kaufhauses steigern, um damit neue Kredite von einer Geschäftsbank zu erhalten. Bisher hatte er die jährliche Miete für dieses Kaufhaus auf \(706\) GE festgesetzt, wobei die Miete am Ende des Jahres fällig ist und der Manager von einem Marktzins in Höhe von \(3.8 \%\) pro Jahr ausgeht.

Wie hoch war damit bisher der Wert der Mieteinnahmen in den nächsten \(4\) Jahren aus heutiger Sicht?

Nun soll dieser Wert aber auf \(3015\) GE gesteigert werden. Um welchen Betrag muss dafür die jährliche Miete erhöht werden?

Ein Angestellter möchte durch jährliche gleichbleibende Zahlungen von \(6700\) GE, die er zu Jahresbeginn tätigt, bis zu seiner Pensionierung in \(17\) Jahren einen Betrag ansparen, der ihm ab dann \(21\) Jahre lang, jeweils am Jahresende als Zusatzpension ausbezahlt wird. Dabei wird eine Verzinsung von \(4\) Prozent angenommen.

Wie hoch ist das angesparte Kapital am Ende der Einzahlungen?

Wie hoch ist die zu erwartende Zusatzpension?

Wie hoch muss eine konstante Tilgungsrate sein, damit eine Schuld von \(2666\) GE nach \(10\) Jahren getilgt ist? Rechnen Sie mit einem nominellen Zinssatz von \(5\) Prozent.

PS-Übungsaufgabe

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b

Warning in search_files(file_Rnw, dir_exrc, recursive = !is.null(edir)): The
following files are found more than once, first match used:
k4-cloze-xlrenten-01.Rnw

Sophie will durch jährlich gleichbleibende Einzahlungen in Höhe von \(3360\) GE, die sie zu Beginn jedes Jahres tätigt, einen Betrag als Zusatzpension ansparen. Sie geht von ihrer Pensionierung in \(36\) Jahren aus, wobei die Hausbank einen Zinssatz von \(5.1\)% p.a. bietet.

Wie groß ist ihr Guthaben zu Beginn der Pension?

Wieviel beträgt der zugehörige Barwert der Einzahlungen?

Wenn der Zinssatz unverändert bleibt, möchte Sophie über \(23\) Pensionsjahre jährlich eine nachschüssige Rente beziehen. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag \(b\)?

Wenn die Bank in der Pension jedoch nur einen Zinssatz von \(3.3\)% p.a. gewährt und Sophie jährlich eine nachschüssige Zusatzrente von \(21287\) GE erhalten möchte, dann kann sie diese über wieviele Jahre beziehen?

Um jährlich eine nachschüssige ewige Rente von \(21287\) GE ausgezahlt zu bekommen, müsste ihr die Bank einen Zinssatz \(r\) bieten. Wie groß ist \(r\) p.a. in Prozent?

Palmöl wird vor allem in der Nahrungsmittelindustrie und zur Herstellung von Kosmetik verwendet. Anfang 1980 \((t = 0)\) betrug die Anbaufläche \(3.98\) Millionen Hektar. Der jährliche Ertrag einer Palmölplantage beträgt im Durchschnitt \(3.8\) Tonnen pro Hektar. Da die Nachfrage in den letzten Jahrzehnten stark angestiegen ist, wurden am Ende jeden Jahres \(6\%\) der bereits bestehenden Anbauflächen für zusätzliche Plantagen freigegeben.

Auf wie viel Fläche (in Millionen Hektar) wurde zu Anfang des 1. Quartals 2010 Palmöl produziert?
Wie viel Palmöl (Produktionsrate, in Millionen Tonnen pro Jahr) wurde zu Anfang des 1. Quartals 2010 produziert?
Wie viel Palmöl (Produktionsrate, in Millionen Tonnen pro Jahr) wurde zu Anfang des 4. Quartals 2010 produziert?
Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde zwischen Anfang des 1. Quartals 2010 und Anfang des 1. Quartals 2011 produziert?
Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde insgesamt bis zum Anfang des 1. Quartals 2011 produziert?

Wie verändern sich die gesuchten Größen, wenn statt einmal jährlich kontinuierlich \(6\%\) der bereits bestehenden Anbauflächen für zusätzliche Plantagen freigegeben werden?

	Freigabe am Ende des Jahres	Freigabe kontinuierlich
Anbaufläche zu Anfang des 1. Quartals 2010
Produzierte Menge an Palmöl zu Anfang des 1. Quartals 2010
Produzierte Menge an Palmöl zu Anfang des 4. Quartals 2010
Produzierte Menge an Palmöl zwischen Anfang des 1. Quartals 2010 und Anfang des 1. Quartals 2011
Produzierte Menge an Palmöl bis zum Anfang des 1. Quartals 2011