5 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Wintersemester 2023/24 werden begleitend zum Kurs an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Ein Basketballspieler erhält zwei Freiwürfe. Aus langer Beobachtung weiß er, dass er mit \(75\%\) Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf trifft. Die gleiche Trefferquote gilt auch für den zweiten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer unmittelbar hintereinander liegt bei \(50.25\%\).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler beim zweiten Wurf nicht trifft, wenn er beim ersten Wurf getroffen hat? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
Bezeichne \(A\) das Ereignis Treffer im ersten Wurf und \(B\) das Ereignis Treffer im zweiten Wurf. Dann ist \(P(A) = P(B) = 0.75\) und \(P(A \cap B) = 0.5025\). Damit läßt sich die Vierfeldertafel aufstellen:
| \(~B~\) | \(~\overline{B}~\) | ||
|---|---|---|---|
| \(~A~\) | \(~0.5025~\) | \(~0.2475~\) | \(~0.75~\) |
| \(~\overline{A}~\) | \(~0.2475~\) | \(~0.0025~\) | \(~0.25~\) |
| \(~0.75~\) | \(~0.25~\) | \(~1~\) |
Gefragt ist nach \[\begin{aligned} P(\overline{B} | {A}) = \frac{P({A} \cap \overline{B})}{P({A})} = \frac{0.2475}{0.75} = 0.33 \end{aligned}\] Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler beim zweiten Wurf nicht trifft, wenn er beim ersten Wurf getroffen hat, beträgt somit \(33.00 \%\).
Eine Studierende beschließt, sich bei zwei verschiedenen Unternehmen für ein Praktikum zu bewerben. Sie hat ein wenig recherchiert und geht davon aus, dass Unternehmen A ihr mit einer Wahrscheinlichkeit von \(63\%\) einen Praktikumsplatz anbietet. Unabhängig davon wird Unternehmen B ihr mit einer Wahrscheinlichkeit von \(84\%\) einen Praktikumsplatz anbieten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Studierende genau einen Praktikumsplatz erhält? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
Sei das Ereignis \(A\) Jobangebot von Unternehmen A und \(B\) Jobangebot von Unternehmen B. Die zwei Ereignisse sind voneinander unabhängig, wenn gilt: \[\begin{aligned} P(A) = P(A|B) \Longleftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{aligned}\] Gefragt ist nach \[\begin{aligned} P(\textrm{genau einen Praktikumsplatz}) & = & 1 - P(A) \cdot P(B) - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \\ & = & 1 - P(A) \cdot P(B) - (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) \\ & = & 1 - 0.63 \cdot 0.84 - (1 - 0.63) \cdot (1 - 0.84) \\ & = & 0.4116 \end{aligned}\] Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau einen Praktikumsplatz erhält, \(41.16\%\).
Erwartungswert und Varianz
Die Zufallsvariable \(X\) hat eine stückweise konstante Dichtefunktion \(f\).
Diese ist nachfolgend gegeben durch ihren Graphen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X < 585.8)\). (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
Die Wahrscheinlichkeit \(P(X < 585.8)\) entspricht der in der folgenden Grafik eingezeichneten Fläche unter der Dichtefunktion \(f\).
Somit ergibt sich \(P(X < 585.8) = 0.652 \approx 65.20\%\).
Die Fahrzeit in Minuten zur Uni sei exponentialverteilt mit durchschnittlicher Fahrzeit \(\mu = 18\) Minuten. Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) ist gegeben durch \[F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 0 \\ 1 - \exp \left(-\frac{1}{\mu}x \right) & x \geq 0 \\ \end{array} \right.\]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit (in Prozent) für eine Fahrzeit größer oder gleich \(12\) Minuten.
\[\begin{aligned} P(\mbox{Fahrzeit gr\"o{\ss}er oder gleich 12 Min.}) &=& P(X \geq 12) \\ &=& 1 - P(X < 12) \\ &=& 1 - F(12) \\ &=& 1 - \left [ 1 - \exp \left ( - \frac{1}{18} 12 \right ) \right ] \\ &=& 0.513417 \end{aligned}\]
Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(51.34\%\).
Gegeben ist folgende stückweise konstante Dichtefunktion der Zufallsvariablen \(X\): \[\begin{aligned} f(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0.04 & & 1 \leq x < 6\\0.2 & \mbox{f\"ur} & 6 \leq x < 9 \\ 0.1 && 9 \leq x \leq 11 \\ 0 && \mathrm{sonst.} \end{array}\right. \end{aligned}\] Berechnen Sie den Erwartungswert \(E(X)\).
Der Erwartungswert einer stückweise konstanten Dichtefunktion ist das gewichtete Mittel der jeweiligen Intervallmitten mit den Wahrscheinlichkeiten im Intervall: \[\begin{aligned} E(X) &=& 0.04 \cdot (6 - 1) \cdot \frac{1 + 6}{2} + \ldots + 0.1 \cdot (11 - 9) \cdot \frac{9 + 11}{2} \\ &=& 0.2 \cdot 3.5 + 0.6 \cdot 7.5 + 0.2 \cdot 10 \\ &=& 7.2 \end{aligned}\]
Ein Teilnehmer einer Spielshow im Fernsehen hat die Wahl zwischen zwei Möglichkeiten: Einstreichen eines sicheren Gewinns von \(205\) Euro oder Teilnahme an einem Glücksspiel. Der Gewinn des Glücksspiels wird durch die Zufallsvariable \(G\) beschrieben. Diese hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
| \(g\) | \(10\) | \(120\) | \(260\) | \(280\) | \(380\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(G = g)\) | \(0.08\) | \(0.05\) | \(0.31\) | \(0.56\) | \(0.00\) |
Nach der Erwartungsnutzentheorie entscheidet sich der Teilnehmer so zwischen den beiden Möglichkeiten, dass der erwartete Nutzen maximiert wird. Berechnen Sie den erwarteten Nutzen, den der Teilnehmer nach seiner Entscheidung erzielt, wenn die Nutzenfunktion \(U(g) = \ln(g)\) vorliegt.
Die Nutzenfunktion \(U(G)\) ist eine nichtlineare Transformation der diskreten Zufallsvariable \(G\) mit möglichen Werten \(g_1, \ldots , g_k\). Der erwartete Nutzen des Glücksspiels ist daher gegeben durch \[\begin{aligned} E(U(G)) & = & U(g_1) \cdot P(G = g_1) + \ldots + U(g_k) \cdot P(G = g_k) \\ & = & \ln(10) \cdot P(G = 10) + \ln(120) \cdot P(G = 120) + \ln(260) \cdot P(G = 260)\\ && + \ln(280) \cdot P(G = 280) + \ln(380) \cdot P(G = 380)\\ & = & 2.3026 \cdot 0.08 + 4.7875 \cdot 0.05 + 5.5607 \cdot 0.31 + 5.6348 \cdot 0.56 + 5.9402 \cdot 0.00\\ & = & 5.3029. \end{aligned}\] Der erwartete Nutzen des Glücksspiels beträgt somit \(5.30\).
Der (erwartete) Nutzen des sicheren Gewinns beträgt \(\ln( 205 ) = 5.32\).
Da der erwartete Nutzen des Glücksspiels mit \(5.30\) kleiner ist als der Nutzen des sicheren Gewinns, entscheidet sich der Teilnehmer für den sicheren Gewinn und erzielt damit einen erwarteten Nutzen von \(5.32\).
Ein Maschinenbauunternehmen stellt Großanlagen eines bestimmten Typs her. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass im nächsten Geschäftsjahr bestimmte Anzahlen von Anlagen abgesetzt werden können, haben folgende Werte:
| Anlagenzahl | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Wahrscheinlichkeit | \(0.31\) | \(0.16\) | \(0.12\) | \(0.28\) | \(0.13\) |
Die Kosten des Unternehmens belaufen sich auf Fixkosten von \(83\) GE und variable Kosten von \(50\) GE je gebauter Anlage. Der Erlös pro abgesetzter Anlage beträgt \(196\) GE.
Berechnen Sie die Standardabweichung des Gewinns (bzw. Verlusts) für das kommende Geschäftsjahr.
Der Gewinn (bzw. Verlust) \(G\) ergibt sich aus dem Deckungsbeitrag, der Anzahl verkaufter Anlagen \(A\) und den Fixkosten: \(G = (196 - 50) \cdot A - 83\).
Für die Ermittlung der Standardabweichung des Gewinns benötigt man also Erwartungswert und Varianz für die Anzahl Anlagen: \[\begin{aligned} E(A) & = & 0 \cdot 0.31 + 1 \cdot 0.16 + 2 \cdot 0.12 + 3 \cdot 0.28 + 4 \cdot 0.13\\ & = & 1.76 \\ V(A) & = & \left(0^2 \cdot 0.31 + 1^2 \cdot 0.16 + 2^2 \cdot 0.12 + 3^2 \cdot 0.28 + 4^2 \cdot 0.13\right) - 1.76^2 \\ & = & 2.1424 \\ V(G) & = & V((196 - 50) \cdot A - 83) \\ & = & (196 - 50)^2 \cdot V(A) \\ & = & 45667.3984 \\ \sigma(G) & = & \sqrt{V(G)} = \sqrt{45667.3984} \\ & \approx & 213.70 \ \end{aligned}\] Die Standardabweichung des Gewinns (bzw. Verlusts) beträgt also \(213.70\).
Normalverteilung
Die Zufallsgröße \(Z\) ist standardnormalverteilt. Berechnen Sie \(P(|Z| \le 1.72)\). (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)
Umformen und aus der Normalverteilungstabelle ablesen: \[\begin{aligned} P(|Z| \le 1.72) & = & P(-1.72 \le Z \le 1.72) \\ & = & P(Z \le 1.72) - P(Z < -1.72) \\ & = & 0.957 - 0.043 \\ & = & 0.914 \end{aligned}\]
Die Rendite eines Wertpapiers \(X\) sei normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 0.02\) und Varianz \(\sigma^{2} = 0.18\). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer als \(0.21\) wird? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
Wenn \(X\) normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 0.02\) und Varianz \(\sigma^{2} = 0.18\) ist, dann ist
\[\begin{aligned} Z = \frac{X - 0.02}{\sqrt{ 0.18 }} \end{aligned}\]
die zugehörige standardisierte Zufallsgröße, d.h. \(Z\) ist standardnormalverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 0.21 ) = 1 - P(X \leq 0.21 )\) berechnen wir, indem wir auf beiden Seiten der Ungleichung standardisieren und dann die Wahrscheinlichkeit für die standardisierte normalverteilte Größe ermitteln.
Die exakte Berechnung der Wahrscheinlichkeit ergibt folgendes Ergebnis:
\[\begin{aligned} P(X > 0.21) = 1- P \left( \frac{X - 0.02}{\sqrt{ 0.18 }} \leq \frac{0.21 - 0.02}{\sqrt{ 0.18 }}\right) = 1- P \left(Z \leq 0.447834 \right) = 0.327136. \end{aligned}\]
Wird hingegen die Normalverteilungstabelle zur Lösung der Aufgabe verwendet, dann erhält man:
\[\begin{aligned} 1- P \left(Z \leq 0.45 \right) = 0.326. \end{aligned}\]
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer als \(0.21\) wird, beträgt somit \(32.71\)% (exakte Berechnung) bzw. \(32.60\)% (Berechnung anhand der Normalverteilungstabelle).
Der Benzinverbrauch eines PKW-Modells (in Liter pro \(100\) km) sei normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 13.4\) und Standardabweichung \(\sigma = 1.13\). Welcher Verbrauch wird von \(53\) Prozent der PKW überschritten?
(Geben Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen genau an.)
Wenn der Benzinverbrauch \(X\) normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 13.4\) und Standardabweichung \(\sigma = 1.13\) ist, dann ist \[Z = \frac{X - 13.4}{1.13}\] die zugehörige standardisierte Zufallsgröße, d.h. \(Z\) ist standardnormalverteilt.
\[0.53 = P(X > x) =
P\left(\frac{X- 13.4}{1.13} >
\frac{x - 13.4}{1.13}\right) =
P\left(Z > \frac{x - 13.4}{1.13}\right)\] Das ist gleichbedeutend mit
\[P\left( Z \leq \frac{x - 13.4}{1.13} \right) = 0.47\] Die Größe auf der rechten Seite der Ungleichung muss also das \(0.47\)-Quantil \(N_{0.47}\) von der standardnormalverteilten Größe \(Z\) sein.
Die exakte Berechnung des Quantils ergibt folgendes Ergebnis: \[\begin{aligned}
\frac{x - 13.4}{1.13} & = & -0.07527 \\
x & = & 13.4 -0.07527 \cdot 1.13 \\
& = & 13.314945 \approx 13.31
\end{aligned}\] Wird hingegen die Tabelle Quantile der Standardnormalverteilung zur Lösung der Aufgabe verwendet, dann erhält man: \[\begin{aligned}
\frac{x - 13.4}{1.13} & = & -0.0753 \\
x & = & 13.4 -0.0753 \cdot 1.13 \\
& = & 13.3149 \approx 13.31
\end{aligned}\] Das \(0.47\)-Quantil von \(X\) beträgt somit \(13.31\) (exakte Berechnung) bzw. \(13.31\) (Berechnung anhand der Tabelle Quantile der Standardnormalverteilung).
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls betrage bei einem technischen Verfahren \({1:700}\) im Laufe eines Jahres. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Betrieb von \(26\) Anlagen im Laufe von \(12\) Jahren der Unfall weniger als dreimal auftritt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
Das Ereignis \(A\) = Auftreten eines schweren Unfalls hat die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(A) = \frac{1}{700} = 0.00142857. \end{aligned}\] Das Gegenereignis \(\overline{A}\) = kein Auftreten eines schweren Unfalls hat somit die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{700} = 0.99857143. \end{aligned}\]
Die Zufallsvariable \(X\) = Anzahl schwerer Unfälle ist dann binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit \(P(A) = 1/700\) und \(n = 26 \cdot 12 = 312\) Versuchen, d.h., \(X \sim B(312, 1/700)\).
In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass weniger als 3 Unfälle auftreten. Dies ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X < 3)\) .
Es gilt: \[\begin{aligned}
P(X < 3) &=& P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) \\
&=& {312 \choose 0} \cdot 0.001429^{0} \cdot 0.998571^{312}+{312 \choose 1} \cdot 0.001429^{1} \cdot 0.998571^{311}+{312 \choose 2} \cdot 0.001429^{2} \cdot 0.998571^{310} \\
&=& 0.989466
\end{aligned}\]
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Unfall im Laufe von \(12\) Jahren weniger als dreimal auftritt liegt bei \(98.95\)%.
Eine Serienproduktion von Glühbirnen hat einen Ausschussanteil von \(18\%\). Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang \(13\) entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe \(3\) oder mehr defekte Glühbirnen? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
Das Ereignis \(A =\) gefertigte Glühbirne ist defekt hat die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(A) = 0.18. \end{aligned}\] Das Gegenereignis \(\overline{A} =\) gefertigte Glühbirne funktioniert hat somit die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.18 = 0.82. \end{aligned}\]
Die Zufallsvariable \(X =\) Anzahl defekter Glübirnen ist dann binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit \(P(A) = 0.18\) und \(n = 13\) Versuchen, d.h., \(X \sim B(13, 0.18)\).
In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass \(3\) oder mehr Glübirnen defekt sind. Dies ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 3)\) \[\begin{aligned} P(X \geq 3) &=& 1 - P(X \leq 2) = 1 - \sum_{k = 0}^{2} P(X = k) \\ &=& 1 - \left({13 \choose 0} 0.18^0 (1 - 0.18)^{13 - 0} + \ldots + {13 \choose 2} 0.18^{{2}} (1 - 0.18)^{13 - 2}\right) \\ &=& 1 - 0.57688148 \\ &\approx& 0.4231. \end{aligned}\] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von \(13\) Glühbirnen \(3\) oder mehr Stück Ausschuss enthält, beträgt \(42.31\%\).