Woche 3

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
2	Funktionen mit zwei Variablen	30-37	2g	8.3
	Die erste Ableitung	38-44	2h	8.4	8.4 a/b
	Optimierung unter Nebenbedingungen	45-55	2i-j	8.8	8.8
					Quiz

Funktionen mit zwei Variablen

2g

Die erste Ableitung

2h

Optimierung unter Nebenbedingungen

2i

2j

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen über Funktionen mit zwei Variablen sind richtig?

• TRUEFALSE Die partielle Ableitung von \(f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2\) nach \(x_2\) ist eine lineare Funktion, die nur von \(x_2\) abhängt.
• TRUEFALSE Die partielle Ableitung einer Funktion \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\) ist immer nur von \(x_1\) abhängig.
• TRUEFALSE Die partielle Ableitung einer Funktion \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\) gibt an, um wie viel sich der Funktionswert verändert, wenn \(x_1\) um eine marginale Einheit steigt und \(x_2\) konstant bleibt.
• TRUEFALSE Bei der partiellen Ableitung von \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\), wird \(x_2\) als Konstante behandelt.
• TRUEFALSE Die Funktion \(f(x_1, x_2) = x_1^{0.2} \cdot x_2^{0.8}\) ist eine Exponentialfunktion mit zwei Variablen.

Details zu Funktionen mit zwei Variablen werden auf den VO-Folien in den Abschnitten Funktionen mit zwei Variablen und Partielle Ableitung vorgestellt sowie im Buch in den Abschnitten 8.2 und 8.3.

• Richtig. Die partielle Ableitung ist \(f'_2(x_1, x_2) = 2 x_2\) und somit eine lineare Funktion von \(x_2\).
• Falsch. Im Allgemeinen kann auch die partielle Ableitung von beiden Variablen \(x_1\) und \(x_2\) abhängen, aber auch von nur einer oder gar keiner Variablen.
• Richtig. Wenn \(x_2\) konstant gehalten wird, kann die partielle Ableitung nach \(x_1\) so wie im eindimensionalen Fall interpretiert werden.
• Richtig. So ist die partielle Ableitung definiert.
• Falsch. Die Funktion ist eine Cobb-Douglas-Funktion, welche ein Produkt von zwei Potenzfunktionen ist.

b

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion \[\begin{aligned} f(x_1, x_2) = -36 \cdot x_1 \cdot \ln \left( x_1 \right) -27 \cdot x_2 \cdot \ln \left( x_2 \right) \end{aligned}\] an der Stelle \(\mathbf{a} = \left( \begin{array}{c} 2.5 \\ 2.5 \end{array} \right)\).

\(f'_1(2.5, 2.5) =\)

\(f'_2(2.5, 2.5) =\)

c

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion \(F(K,L)\) mit den Inputfaktoren \(K\) für Kapital und \(L\) für Arbeit auf \[F(K,L)= K^{0.4} + L\] Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \(p_K=0.5\) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \(p_L=14\). Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von \(250\) ME produziert werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \(K\) im Kostenminimum?

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \(L\) im Kostenminimum?

Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) im Kostenminimum?

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?