4 Integralrechnung

Stammfunktionen und Integrale

a

Bestimmen Sie für \[\begin{aligned} f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 13x - 17 \end{aligned}\] eine Stammfunktion \(F(x)\) so, dass \(F(10) = 8860\) ist.

Welchen Wert hat \(F(11)\)?

Als erstes berechnet man das unbestimmte Integral \(F(x) = \int f(x)\, \text{d}x\) und stellt damit alle Stammfunktionen der Funktion \(f\) dar:
\[\begin{aligned} F(x) & = & \int 2x^3 - 3x^2 + 13x + 17 \, \text{d}x \\ & = & \frac{2}{4} \cdot x^4 - \frac{3}{3} \cdot x^3 + \frac{13}{2} \cdot x^2 - 17 \cdot x + C \end{aligned}\]

Dann setzt man den bekannten Funktionswert \(8860\) der Stelle \(x = 10\) ein, um die Konstante C für die gesuchte Stammfunktion zu berechnen: \[\begin{aligned} 8860 & = & \frac{2}{4} \cdot 10^4 - \frac{3}{3} \cdot 10^3 + \frac{13}{2} \cdot 10^2 - 17 \cdot 10 + C\\ C & = & 4380 \end{aligned}\] Somit ist die gesuchte Stammfunktion
\[\begin{aligned} F(x) = \frac{2}{4} \cdot x^4 - \frac{3}{3} \cdot x^3 + \frac{13}{2} \cdot x^2 - 17 \cdot x + 4380.\\ \end{aligned}\]

Zum Schluss setzt man die gegebene \(x\)-Stelle ein, um den Funktionswert \(F(11)\) zu berechnen:

\[\begin{aligned} F(11) & = & \frac{2}{4} \cdot 11^4 - \frac{3}{3} \cdot 11^3 + \frac{13}{2} \cdot 11^2 - 17 \cdot 11 + 4380\\ F(11) & = & 10969 \end{aligned}\] Die Stammfunktion \(F\) hat an der Stelle \(x = 11\) einen Wert von \(10969.00\).

Grundregeln für das Integrieren

a

Berechnen Sie \(\displaystyle\int_{1}^{6} f(x) \, \text{d} x\) für \(\displaystyle f(x)= e^{-2 x+7}\).

Berechnen einer Stammfunktion von \(\displaystyle f(x)= e^{-2 x +7}\) mit Hilfe der Integrationsregel für Exponentialfunktionen \(\displaystyle \int e^{ax + b} \, \text{d} x = \frac{1}{a}e^{ax + b} + C\): \[\begin{aligned} \int f(x) \, \text{d}x &=& \int e^{-2 x+7} \, \text{d} x \\ & = & -\frac{1}{2}e^{-2x + 7} + C \end{aligned}\] Lösen des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_1^6f(x) \, \text{d} x\) unter Verwendung der ermittelten Stammfunktion: \[\begin{aligned} \int_{1}^{6}f(x) \, \text{d} x & = & \int_{1}^{6} e^{-2x + 7} \, \text{d}x \\ & = & \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x + 7} \right ]_{1}^{6} \\ & = & -\frac{1}{2}e^{-5} - \left(-\frac{1}{2}e^{5} \right) \\ & = & -0.003369 - ( -74.20658 ) \\ & \approx & 74.20 \end{aligned}\]

b

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{2}^{9}f(x) \, \text{d} x\) für \(\displaystyle f(x) = \sqrt[8]{x^{3}}\).

Berechnen einer Stammfunktion von \(\displaystyle f(x) = \sqrt[8]{x^{3}}\) mit Hilfe der Integrationsregel für Potenzen \(\displaystyle \int x^{\alpha} \, \text{d} x = \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} + C\)  :

\[\begin{aligned} \int f(x) \, \text{d} x &=& \int \sqrt[8]{x^{3}} \, \text{d} x\\ &=& \int x^{\frac{3}{8}} \, \text{d} x \\ &=& \frac{x^{\left(\frac{3}{8} + 1\right)}}{\frac{3}{8} + 1} + C \end{aligned}\]

Lösen des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{9}f(x) \, \text{d} x\) unter Verwendung der ermittelten Stammfunktion:

\[\begin{aligned} \int_{2}^{9} \sqrt[8]{x^{3}} \ \text{d} x &=& \int_{2}^{9} x^{\frac{3}{8}} \ \text{d} x \\ &=& \left[ \frac{x^{\left(\frac{3}{8} + 1\right)}}{\frac{3}{8} + 1} \,\right]_{2}^{9} \\ &=& \left[ \frac{8 \cdot x^{\frac{11}{8}}} {11} \,\right]_{2}^{9} \\ &=& \frac{164.124508}{11} - \frac{20.749433}{11} \\ &=& 13.034098 \\ &\approx& 13.03 \end{aligned}\]

c

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{2}^{7} f(x) \, \text{d} x\) für \(\displaystyle f(x) = \frac{6}{2 x + 4}\).

Berechnen einer Stammfunktion von \(\displaystyle f(x) = \frac{6}{2 x + 4}\) mit Hilfe der Integrationsregel für den Logarithmus \(\displaystyle \int \frac{1}{ax + b} \, \text{d} x = \frac{1}{a} \ln(ax + b) + C\):

\[\begin{aligned} \int f(x) \, \text{d} x & = & \int \frac{6}{2 x + 4} \, \text{d} x \\ & = & 6 \cdot \int \frac{1}{2 x + 4} \, \text{d} x \\ & = & 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(2 x + 4) + C \end{aligned}\]

Lösen des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{7} f(x) \, \text{d} x\) unter Verwendung der ermittelten Stammfunktion:

\[\begin{aligned} \int_{2}^{7} \frac{6}{2 x + 4} \, \text{d} x & = & 6 \cdot \int_{2}^{7} \frac{1}{2 x + 4} \, \text{d} x \\ & = & \left[ 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(2 x + 4) \, \right]_{2}^{7} \\ & = & 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(2 \cdot 7+ 4) - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(2 \cdot 2 + 4)\\ & = & 8.671115 - 6.238325 \\ & \approx & 2.43 \end{aligned}\]

d

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{1}^{4}f(x) \, \text{d} x\) für \(\displaystyle f(x) = 12x^{5} + 9x^{3} + \frac{5}{x^{5}}\).

Berechnen einer Stammfunktion von \(\displaystyle f(x) = 12x^{5} + 9x^{3} + \frac{5}{x^{5}}\) mit Hilfe der Integrationsregel für Potenzen \(\displaystyle \int x^{\alpha} \, \text{d} x = \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} + C\) und dem Summensatz: \[\begin{aligned} \int f(x) \, \text{d} x & = & \int \left(12 x^{5} + 9 x^{3} + \frac{5}{x^{5}}\right) \, \text{d} x \\ & = & \frac{12 x^{6}}{6} + \frac{9 x^{4}}{4} - \frac{5 x^{-4}}{4} + C \end{aligned}\]

Lösen des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_1^4f(x) \, \text{d} x\) unter Verwendung der ermittelten Stammfunktion: \[\begin{aligned} \int_1^4f(x) \, \text{d} x & = & \int_1^4 \left(12x^{5} + 9x^{3} + \frac{5}{x^{5}}\right) \, \text{d} x \\ & = & \left[ \frac{12 x^{6}}{6} + \frac{9 x^{4}}{4} - \frac{5 x^{-4}}{4} \right ]_{1}^{4} \\ & = & \left( \frac{12 \cdot 4^{6}}{6} + \frac{9 \cdot 4^{4}}{4} - \frac{5 \cdot 4^{-4}}{4} \right) - \left( \frac{12 \cdot 1^{6}}{6} + \frac{9 \cdot 1^{4}}{4} - \frac{5 \cdot 1^{-4}}{4} \right) \\ & = & 8767.995117 - 3 \\ & \approx & 8765.00 \end{aligned}\]

Anwendungen von Integralen

a

Berechnen Sie den Flächeninhalt unter der Funktion \(0.1 \cdot e^{-0.4x}\) zwischen den Grenzen \(x=2\) und \(x=5\).

Zur Berechnung des Flächeninhalts muss das bestimmte Integral \(\displaystyle\int_{2}^{5} 0.1 \cdot e^{-0.4x} \, \text{d} x\) gelöst werden. Wir verwenden hierfür die Regel \(\int e^{a x + b} \, \text{d} x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C\). Daher ist \[\begin{aligned} \int_{2}^{5} 0.1 \cdot e^{-0.4x} \, \text{d} x &= & 0.1 \cdot \int_{2}^{5} e^{-0.4x} \, \text{d} x ~=~ \left. -\frac{0.1}{0.4}e^{-0.4x} \, \right|_{2}^{5} \\ &= &-\frac{0.1}{0.4}e^{-2} + \frac{0.1}{0.4}e^{-0.8} ~=~ 0.078498 \end{aligned}\] Also gerundet auf zwei Nachkommastellen: \(\displaystyle\int_{2}^{5} 0.1 \cdot e^{-0.4x} \, \text{d} x = 0.08\)

b

Berechnen Sie den Durchschnittswert von \(f(x)=x\) auf dem Intervall \([0, 8]\).

Zur Berechnung des Durchschnittswerts wird der Flächeninhalt unter der Funktion \(f(x)\) durch die Länge des Intervalls dividiert: \[\begin{aligned} \bar{f} ~=~ \frac{1}{8-0} \cdot \int_{0}^{8} x \, \text{d} x ~=~ \left. \frac{1}{8} \cdot \frac{x^2}{2} \, \right|_{0}^{8} ~=~ \frac{1}{8} \cdot \left (\frac{8^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right) ~=~ \frac{1}{8} \cdot \frac{64-0}{2} ~=~ \frac{64}{16} ~=~ 4.00 \end{aligned}\] Also gerundet auf zwei Nachkommastellen: \(\bar{f} = 4.00\)

c

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei \(L(0) = 10642.30\) beginnt, gleichmäßig (linear) abnimmt und bei \(L(9) = 3009.40\) endet?

Der Lagerbestand \(L(t)\) zum Zeitpunkt \(t\) ist eine lineare Funktion \(L(t) = a - b \cdot t\). Der Achsenabschnitt ist \(a = L(0) = 10642.3\). Damit ist die Steigung \(b = \frac{L(0) - L(9)}{9} = 848.1\). Der Lagerbestand sinkt also um \(848.1\) pro Zeiteinheit.

Gesucht ist der Durchschnittswert im Intervall \([0, T]\) mit \(T = 9\). \[\begin{aligned} \bar L & = & \frac{1}{T} \int_0^T \left( a - b \cdot t \right) \, \text{d} t \\ & = & \frac{1}{T} \left(a \cdot T - \frac{b}{2} \cdot T^2 - 0 \right) \\ & = & a - b \cdot \frac{T}{2} ~=~ 6825.85 \end{aligned}\] Der durchschnittliche Lagerbestand \(\bar L\) beträgt also \(6825.85\).

d

Max legt jedes Jahr Geld auf ein Sparbuch. Sein Sparguthaben wächst nach der Formel \(s(t) = 5t^3 + 2t^2 + 8t -7\), wobei \(s(t)\) dem Sparguthaben im Jahr \(t\) entspricht.

Wie groß ist das durchschnittliche Guthaben zwischen dem zehnten und dem vierzehnten Jahr ab Beginn der Einzahlungen?

Das Sparguthaben wächst nach der Funktion \(s(t) = 5t^3 + 2t^2 + 8t -7\). Die Stammfunktion \(S(t)\) lautet: \[\begin{aligned} S(t) &=& \int \left( 5t^3 + 2t^2 + 8t -7 \right) ~ dt\\ &=& \frac{5t^4}{4} + \frac{2t^3}{3} + \frac{8t^2}{2} -7t + C \end{aligned}\] Der Durchschnittswert des Sparbuches errechnet sich aus: \[\begin{aligned} \bar{K} &=& \frac{1}{14 - 10} \int_{10}^{14} \left(5t^3 + 2t^2 + 8t -7 \right) ~ dt\\ &=& \frac{1}{4} \left [ \frac{5t^4}{4} + \frac{2t^3}{3} + \frac{8t^2}{2} -7t \right ]_{10}^{14}\\ &=& \frac{1}{4} \left [ \frac{5 \cdot 14^4}{4} + \frac{2 \cdot 14^3}{3} + \frac{8 \cdot 14^2}{2} -7 \cdot 14 - \frac{5 \cdot 10^4}{4} - \frac{2 \cdot 10^3}{3} - \frac{8 \cdot 10^2}{2} + 7 \cdot 10 \right ] = 9259.666667 \end{aligned}\] Das durchschnittliche Guthaben zwischen dem zehnten und dem vierzehnten Jahr beträgt somit \(9259.67\) GE.

e

Gemäß einer Statistik der Oesterreichischen Nationalbank betrug die Geldmenge M3 im Euroraum im Jahr 1970 (\(t=0\)) \(516\) Milliarden Euro. Bis ins Jahr 2015 ist diese kontinuierlich mit einer konstanten relativen Zuwachsrate auf \(11848\) Milliarden Euro angestiegen.

Wie hoch war die durchschnittliche Geldmenge zwischen 1980 und 1985?

Die Geldmenge \(\mathrm{M3}(t)\) zum Zeitpunkt \(t\) ist eine Exponentialfunktion \(\mathrm{M3}(t) = A \cdot e^{c \cdot t}\). Der Achsenabschnitt \(A = \mathrm{M3}(0) = 516\). Die nominelle Wachstumsrate \(c\) wird wie folgt berechnet:

\[\begin{aligned} c & = & \frac{\ln \mathrm{M3}(45) - \ln \mathrm{M3}(0)}{45} \\ & = & \frac{\ln (11848) - \ln (516)}{45} \\ & = & 0.06964 \end{aligned}\]

Die Geldmenge M3 wächst also mit einer nominellen Rate von \(6.964017\%\) pro Jahr.

Gesucht ist der Durchschnittswert im Intervall \([10, 15]\).

\[\begin{aligned} \overline{M3} & = & \frac{1}{15 - 10} \int_{10}^{15} 516 \cdot e^{0.06964 t} \, \mathrm{d} t \\ & = & \frac{516}{5} \int_{10}^{15} e^{0.06964 t} \, \mathrm{d} t \\ & = & \frac{516}{5 \cdot 0.06964} \left( e^{0.06964 \cdot 15} - e^{0.06964 \cdot 10} \right) \\ & = & 1238.499203 \approx 1238.50 \end{aligned}\]

Die durchschnittliche Geldmenge M3 zwischen 1980 und 1985 beträgt also \(1238.50\) Milliarden Euro.

f

Von einem quaderförmigen Schwimmbecken mit \(11~m\) Länge, \(5~m\) Breite und \(2~m\) Höhe wird Wasser abgepumpt.
Zu Beginn beträgt der Wasserstand \(1.9~m\).
Die Änderungsrate der Wassermenge (in \(m^3\) pro Stunde) ist durch folgende Funktion gegeben: \[\begin{aligned} f(t) = -0.06\cdot t -0.4 \end{aligned}\] Nach wie vielen Stunden ist das Schwimmbecken gänzlich geleert?

Die Wassermenge berechnet sich mit \[\begin{aligned} \int_a^b a(t)\, \text{d}t + c \end{aligned}\] wobei c die Menge an Wasser ist, die bereits von Beginn an im Schwimmbecken war.
Um die Zeit zu bestimmen, in der eine gewisse Wassermenge \(V\) erreicht wird, muss also die Gleichung \[\begin{aligned} \int_0^y a(t)\, \text{d}t + c = V \end{aligned}\] nach \(y\) aufgelöst werden.
Integration nach \(t\) ergibt \[\begin{aligned} \left[-\frac{0.06}{2} \cdot t^2 -0.4 \cdot t \right]_{0}^{y} + c &=& V \\ -\frac{0.06}{2} \cdot y^2 -0.4 \cdot y + c - V &=& 0 \\ \end{aligned}\]

\(V = 0\) und \(c = 11 \cdot 5 \cdot 1.9 = 104.5\).
Somit ergibt sich mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen \(y=52.73\).
Nach \(52.73\) Stunden ist das Schwimmbecken gänzlich geleert.

Kontinuierliche Zahlungsströme

a

Wie hoch ist der Endwert eines Zahlungsstroms mit konstanter Rate \(a(t)=204\) und dem Zinssatz \(c=0.07\) nach \(6\) Jahren?

Ohne Ausgangskapital ist \(K(0) = 0\). Der Endwert des Zahlungsstroms \(a(t)=204\) nach \(6\) Jahren ist damit gegeben durch \[\begin{aligned} K(6) & = & \int_0^{6} e^{0.07 \cdot (6 - t)} \, 204 \, d t \\ & = & 204 \cdot \int_0^{6} e^{- 0.07 t + 0.42} \, d t \\ & \approx & 204 \cdot 7.456594 ~\approx~ 1521.15 \quad \mbox{weil} \\ \int_0^{6} e^{- 0.07 t + 0.42} \, d t & = & \left. -\frac{1}{0.07} e^{- 0.07 t + 0.42} \right|_0^{6} \\ & = & -\frac{1}{0.07} e^{- 0.07 \cdot 6 + 0.42} + \frac{1}{0.07} e^{- 0.07 \cdot 0 + 0.42} \\ & \approx & 7.456594 \end{aligned}\] Der Endwert des Zahlungsstroms beträgt also \(1521.15\).

b

Herr Meyer zahlt für seine Altersvorsorge pro Jahr steigende Beiträge ein, die beginnend mit \(1383\) GE jährlich um \(179\) GE anwachsen. An Bankzinsen erhält Herr Meyer eine nominelle Rate von \(5.5\) Prozent. Berechnen Sie mit einem kontinuierlichen Zahlungsmodell den Endwert der Zahlungen nach \(5\) Jahren.

Für den Endwert eines kontinuierlichen Zahlungsstromes gilt \[\begin{aligned} K(T) = e^{c T}K(0) + \int_0^Te^{c(T-t)} a(t) \, d t \\ \end{aligned}\]

Der Endwert eines kontinuierlichen Zahlungsstroms \(a(t) = 1383 + 179t\) mit \(K(0)=0\), ist gegeben durch

\[\begin{aligned} K(5) & = & \int_0^{5} e^{0.055 \cdot (5 - t)} (1383 + 179t) \, d t \\ & = & 1383 \int_0^{5} e^{0.055 \cdot (5 - t)} \, d t + 179 \int_0^{5} t \cdot e^{0.055 \cdot (5 - t)} \, d t \\\\ & \approx & 1383 \cdot 5.7551032 + 179 \cdot 13.7291487 \\\\ & \approx & 10416.83 \quad \mbox{weil} \\\\ \int_0^{5} e^{- 0.055 t + 0.275} \, d t & = & \left. -\frac{1}{0.055} e^{- 0.055 t + 0.275}~ \right|_0^{5} \\ & = & -\frac{1}{0.055} e^{- 0.055 \cdot 5 + 0.275} - \left ( -\frac{1}{0.055} e^{- 0.055 \cdot 0 + 0.275} \right )\\ & = & -\frac{1}{0.055} + \frac{1}{0.055} e^{0.275}\\\\ & \approx & 5.7551032 \quad \mbox{und weil} \\\\ \int_0^{5} t \cdot e^{- 0.055 t + 0.275} \, d t & = & \left. \left ( \frac{t}{-0.055} - \frac{1}{(-0.055)^2} \right) e^{- 0.055 t + 0.275}~ \right|_0^{5} \\ & = & \frac{5}{-0.055} - \frac{1}{(-0.055)^2} + \frac{1}{(-0.055)^2} e^{0.275} \\\\ & \approx & 13.7291487 \end{aligned}\] Der Endwert der Zahlungen beträgt also nach \(5\) Jahren \(10416.83\) GE.

c

Wie hoch muss eine konstante Tilgungsrate sein, damit eine Schuld von \(2445\) GE nach \(13\) Jahren getilgt ist? Rechnen Sie mit einem nominellen Zinssatz von \(5.3\) Prozent.

Für den Endwert eines kontinuierlichen Zahlungsstroms gilt \[\begin{aligned} K(T) = e^{c T}K(0) + \int_0^Te^{c(T-t)} a(t) \, d t \\ \end{aligned}\]

Mit der Schuld ist \(K(0) = -2445\) und der Endwert soll nach \(13\) Jahren gleich \(0\) sein. Der konstante Zahlungsstrom \(a(t) = a\) ist somit gegeben durch \[\begin{aligned} K(13) & = & K(0) e^{0.053 \cdot 13} + \int_0^{13} e^{0.053 \cdot (13 - t)} a \, d t \\ 0 & = & -2445 e^{0.689} + a \int_0^{13} e^{- 0.053 t + 0.689} \, d t \\ a & \approx & \frac{2445 e^{0.689}}{18.7117512} ~\approx~ 260.25 \quad \mbox{weil} \\\\ \int_0^{13} e^{- 0.053 t + 0.689} \, d t & = & \left. -\frac{1}{0.053} e^{- 0.053 t + 0.689}~ \right|_0^{13} \\ & = & -\frac{1}{0.053} e^{- 0.053 \cdot 13 + 0.689} - \left ( -\frac{1}{0.053} e^{- 0.053 \cdot 0 + 0.689} \right )\\ & = & -\frac{1}{0.053} + \frac{1}{0.053} e^{0.689}\\\\ & \approx & 18.7117512 \end{aligned}\] Die konstante Tilgungsrate beträgt also \(260.25\) GE.