Woche 5

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
4	Arithmetische Folgen	1-9	4a-b	1.3	1.3
	Geometrische Folgen	10-18	4c	2.3	2.3
	Verzinsung	19-24	4d-e	2.1	2.1
	Laufzeiten	25-28	4f	2.2	2.2
	Unterjährige Verzinsung	29-36	4g-h	2.5	2.5
	Kontinuierliche Verzinsung	37-49	4i-j	2.6.2	2.6.2
					Quiz
					PS-Übungsaufgabe

Arithmetische Folgen

Geometrische Folgen

Verzinsung

Laufzeiten

Unterjährige Verzinsung

Kontinuierliche Verzinsung

Quiz

Sei \((x_n)\) eine arithmetische Folge mit Zuwächsen \(d\). Welche Aussagen sind richtig?

Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(d\).Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + d\).Die relativen Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(d \neq 0\).Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + n \cdot d\).Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Arithmetische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 1.3.

Richtig. Konstante Differenzen \(\Delta x_n\) sind die definierende Eigenschaft einer arithmetischen Folge.
Falsch. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + d)/x_{n-1} = 1 + d/x_{n-1}\).
Richtig. Die relativen Differenzen betragen \(\Delta x_n / x_{n-1} = d/x_{n-1}\), was nur für \(d = 0\) konstant ist.
Richtig. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 + n \cdot d\) oder \(x_n = x_1 + (n-1) \cdot d\).
Falsch. Die Folgenglieder einer arithmetischen Folge liegen auf dem Graph einer linearen Funktion mit Steigung \(d\).

Sei \((x_n)\) eine geometrische Folge mit relativer Änderung \(r\). Welche Aussagen sind richtig?

Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + r\).Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(r\).Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + x_0 \cdot r^n\).Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(r \neq 0\).Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Geometrische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.3.

Richtig. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + x_{n-1} \cdot r)/x_{n-1} = 1 + r\).
Falsch. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1} \neq r\).
Falsch. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 \cdot (1 + r)^n\) oder \(x_n = x_1 \cdot (1 + r)^{n-1}\).
Richtig. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1}\), was nur für \(r = 0\) konstant ist.
Richtig. Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion mit relativer Änderung \(r\) bzw. Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\).

Welche Aussagen bzgl. der Endwertformel in der Zinsrechnung \(K_t = K_0 \cdot (1 + r)^t\) sind richtig?

Der Anfangswert \(K_0\) wird auch Barwert genannt.In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapital um einen konstanten Faktor.In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapital um eine Konstante.Um vom Endwert \(K_t\) auf den Anfangswert \(K_0\) zurückzuschließen, benötigt man den Abzinsungsfaktor und dieser beträgt \(1/r\).Der Endwert \(K_t\) enthält eine zusammengesetzte Verzinsung (Zinseszinsen).

Details zur Endwertformel werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Verzinsungsmodelle vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.1 und 2.2.

Richtig. Er entspricht dem Kapital, das man zu Beginn der Verzinsung bar zur Verfügung hat bzw. anlegen muss.
Richtig. Der Quotient aufeinanderfolgender Kapitalwerte ist \(K_t / K_{t-1} = 1 + r\), was ein gleichbleibender konstanter Wachstumsfaktor ist.
Falsch. Die Erhöhung in jeder Periode beträgt \(\Delta K_t = K_{t-1} \cdot (1 + r) - K_{t-1} = K_{t-1} \cdot r\), was nicht konstant ist sondern sich mit dem Kapital ändert.
Falsch. Der Abziensungsfaktor beträgt \(d = 1/q = 1/(1 + r)\).
Richtig. Mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\) wird \(t\)-mal aufgezinst, auch auf alle bisherigen Aufzinsungen.

Welche Aussagen bzgl. Zinsrechnung mit positivem effektiven Zinssatz sind richtig?

Der effektive Zinssatz kann immer äquivalent in einen nominellen kontinuierlichen Zinssatz umgerechnet werden.Der effektive Zinssatz ist immer höher als der nominelle unterjährige Zinssatz, wenn es mehrere unterjährige Verzinsungszeitpunkte gibt.Der nominelle kontinuierliche Zinssatz ist immer größer als der effektive jährliche Zinssatz.Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(1 + k \cdot \frac{c}{k}\).Bei unterjähriger Verzinsung fallen unter dem Jahr keine Zinseszinsen an.

Details zu unterschiedlichen Verzinsungstypen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Unterjährige Verzinsung und Kontinuierliche Verzinsung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.5 und 2.6.2.

Richtig. Durch gleichsetzen der Wachstumsfaktoren \(1 + r = \exp(c)\) können die Zinssätze immer äquivalent umgerechnet werden.
Richtig. Durch die unterjährig anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle unterjährige Zinssatz.
Falsch. Durch die kontinuierlich anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle kontinuierliche Zinssatz.
Falsch. Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(\left(1 + \frac{c}{k}\right)^k\).
Falsch. Zu den unterjährigen Verzinsungszeitpunkten fallen bereits Zinseszinsen an.

Von 18:00 \((t = 0)\) bis 03:00 \((t = 9)\) Uhr findet in Innsbruck eine Benefizveranstaltung statt. Zu Beginn werden \(182\) Gäste eingelassen. Jeder Gast muss am Ende jeder vollen Stunde eine Spende abgeben. Diese beträgt konstant \(1.10\) GE. Da der Andrang auf die Benefizveranstaltung sehr groß ist, werden am Anfang jeder vollen Stunde \(20\) weitere Gäste eingelassen. Bis zum Ende verlässt niemand die Veranstaltung. Als vereinfachende Annahme muss die Anzahl an Personen nicht auf ganze Zahlen gerundet werden.

Wie viele GE werden bis 23:49 Uhr gespendet?

Ein Vater legt zum \(8\). Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem \(21\). Geburtstag ein Startkapital in Höhe von \(380000\) GE zu sichern. \(4\) Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf \(4.30\)% herab und der Vater muss \(21408.91\) GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?

PS-Übungsaufgabe

Frau Maier möchte zur Finanzierung einer privaten Zusatzpension einmal pro Jahr \(5\)% ihres Nettoeinkommens in eine Lebensversicherung einzahlen. Im \(1\). Jahr beträgt ihr Jahresnettoeinkommen \(33000\) GE und sie geht in den folgenden Jahren von einer Gehaltserhöhung von \(4\)% p.a. aus. Das Versicherungsunternehmen XY AG bietet Frau Maier eine fondsgebundene Lebensversicherung an, wobei garantiert wird, dass sie ihre Einzahlungen zumindest unverzinst zurückerhält.

Wie hoch ist die Einzahlung in die Lebensversicherung im \(27\). Jahr?

Wie hoch ist das angesparte Kapital nach \(27\) Jahren, wenn sie aufgrund der schlechten Entwicklung des Fonds nur die Mindestleistung erhält?