Woche 5

Überblick

Kapitel	Thema	Folien	Video	Buch	Training
4	Arithmetische Folgen	1-9	4a-b	1.3	1.3
	Geometrische Folgen	10-18	4c	2.3	2.3
	Verzinsung	19-24	4d-e	2.1	2.1
	Laufzeiten	25-28	4f	2.2
	Unterjährige Verzinsung	29-36	4g-h	2.5	2.5 a
	Kontinuierliche Verzinsung	37-49	4i-j	2.6.2	2.5 b
					Quiz

Arithmetische Folgen

4a

4b

Geometrische Folgen

4c

Verzinsung

4d

4e

Laufzeiten

4f

Unterjährige Verzinsung

4g

4h

Kontinuierliche Verzinsung

4i

4j

Quiz

a

Sei \((x_n)\) eine arithmetische Folge mit Zuwächsen \(d\). Welche Aussagen sind richtig?

• TRUEFALSE Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + n \cdot d\).
• TRUEFALSE Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.
• TRUEFALSE Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(d\).
• TRUEFALSE Die relativen Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(d \neq 0\).
• TRUEFALSE Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + d\).

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien im Kapitel 4 im Abschnitt Arithmetische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 1.3.

• Richtig. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 + n \cdot d\) oder \(x_n = x_1 + (n-1) \cdot d\).
• Falsch. Die Folgenglieder einer arithmetischen Folge liegen auf dem Graph einer linearen Funktion mit Steigung \(d\).
• Richtig. Konstante Differenzen \(\Delta x_n\) sind die definierende Eigenschaft einer arithmetischen Folge.
• Richtig. Die relativen Differenzen betragen \(\Delta x_n / x_{n-1} = d/x_{n-1}\), was nur für \(d = 0\) konstant ist.
• Falsch. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + d)/x_{n-1} = 1 + d/x_{n-1}\).

b

Sei \((x_n)\) eine geometrische Folge mit relativer Änderung \(r\). Welche Aussagen sind richtig?

• TRUEFALSE Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(r\).
• TRUEFALSE Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.
• TRUEFALSE Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + x_0 \cdot r^n\).
• TRUEFALSE Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(r \neq 0\).
• TRUEFALSE Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + r\).

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien im Kapitel 4 im Abschnitt Geometrische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.3.

• Falsch. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1} \neq r\).
• Richtig. Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion mit relativer Änderung \(r\) bzw. Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\).
• Falsch. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 \cdot (1 + r)^n\) oder \(x_n = x_1 \cdot (1 + r)^{n-1}\).
• Richtig. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1}\), was nur für \(r = 0\) konstant ist.
• Richtig. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + x_{n-1} \cdot r)/x_{n-1} = 1 + r\).

c

Welche Aussagen bzgl. der Endwertformel in der Zinsrechnung \(K_t = K_0 \cdot (1 + r)^t\) sind richtig?

• TRUEFALSE In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapital um eine Konstante.
• TRUEFALSE In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapitel um einen konstanten Faktor.
• TRUEFALSE Um vom Endwert \(K_t\) auf den Anfangswert \(K_0\) zurückzuschließen, benötigt man den Abzinsungsfaktor und dieser beträgt \(1/r\).
• TRUEFALSE Der Endwert \(K_t\) enthält eine zusammengesetzte Verzinsung (Zinseszinsen).
• TRUEFALSE Der Anfangswert \(K_0\) wird auch Barwert genannt.

Details zur Endwertformel werden auf den VO-Folien im Kapitel 4 im Abschnitt Verzinsungsmodelle vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.1 und 2.2.

• Falsch. Die Erhöhung in jeder Periode beträgt \(\Delta K_t = K_{t-1} \cdot (1 + r) - K_{t-1} = K_{t-1} \cdot r\), was nicht konstant ist sondern sich mit dem Kapital ändert.
• Richtig. Der Quotient aufeinanderfolgender Kapitalwerte ist \(K_t / K_{t-1} = 1 + r\), was ein gleichbleibender konstanter Wachstumsfaktor ist.
• Falsch. Der Abziensungsfaktor beträgt \(d = 1/q = 1/(1 + r)\).
• Richtig. Mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\) wird \(t\)-mal aufgezinst, auch auf alle bisherigen Aufzinsungen.
• Richtig. Er entspricht dem Kapital, das man zu Beginn der Verzinsung bar zur Verfügung hat bzw. anlegen muss.

d

Welche Aussagen bzgl. Zinsrechnung mit positivem effektiven Zinssatz sind richtig?

• TRUEFALSE Bei unterjähriger Verzinsung fallen unter dem Jahr keine Zinseszinsen an.
• TRUEFALSE Der nominelle kontinuierliche Zinssatz ist immer größer als der effektive jährliche Zinssatz.
• TRUEFALSE Der effektive Zinssatz kann immer äquivalent in einen nominellen kontinuierlichen Zinssatz umgerechnet werden.
• TRUEFALSE Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(1 + k \cdot \frac{c}{k}\).
• TRUEFALSE Der effektive Zinssatz ist immer höher als der nominelle unterjährige Zinssatz, wenn es mehrere unterjährige Verzinsungszeitpunkte gibt.

Details zu unterschiedlichen Verzinsungstypen werden auf den VO-Folien im Kapitel 4 im Abschnitt Unterjährige Verzinsung und Kontinuierliche Verzinsung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.5 und 2.6.2.

• Falsch. Zu den unterjährigen Verzinsungszeitpunkten fallen bereits Zinseszinsen an.
• Falsch. Durch die kontinuierlich anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle kontinuierliche Zinssatz.
• Richtig. Durch gleichsetzen der Wachstumsfaktoren \(1 + r = \exp(c)\) können die Zinssätze immer äquivalent umgerechnet werden.
• Falsch. Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(\left(1 + \frac{c}{k}\right)^k\).
• Richtig. Durch die unterjährig anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle unterjährige Zinssatz.

e

Von 20:00 \((t = 0)\) bis 05:00 \((t = 9)\) Uhr findet in Innsbruck eine Benefizveranstaltung statt. Zu Beginn werden \(148\) Gäste eingelassen. Jeder Gast muss am Ende jeder vollen Stunde eine Spende abgeben. Diese beträgt konstant \(1.00\) GE. Da der Andrang auf die Benefizveranstaltung sehr groß ist, werden am Anfang jeder vollen Stunde \(11\) weitere Gäste eingelassen. Bis zum Ende verlässt niemand die Veranstaltung. Als vereinfachende Annahme muss die Anzahl an Personen nicht auf ganze Zahlen gerundet werden.

Wie viele GE werden bis 04:33 Uhr gespendet?

f

Ein Vater legt zum \(7\). Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem \(21\). Geburtstag ein Startkapital in Höhe von \(450000\) GE zu sichern. \(5\) Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf \(5.20\)% herab und der Vater muss \(31986.84\) GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?