Woche 5

Überblick

Thema Inhalte Folien Video Buch Training
4 Arithmetische Folgen 1-9 4a-b 1.3 1.3
Geometrische Folgen 10-18 4c 2.3 2.3
Verzinsung 19-24 4d-e 2.1 2.1
Laufzeiten 25-28 4f 2.2 2.2
Unterjährige Verzinsung 29-36 4g-h 2.5 2.5
Kontinuierliche Verzinsung 37-49 4i-j 2.6.2 2.6.2
Quiz

Arithmetische Folgen

Geometrische Folgen

Verzinsung

Laufzeiten

Unterjährige Verzinsung

Kontinuierliche Verzinsung

Quiz

Sei \((x_n)\) eine arithmetische Folge mit Zuwächsen \(d\). Welche Aussagen sind richtig?

  • Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(d\).
  • Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + n \cdot d\).
  • Die relativen Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(d \neq 0\).
  • Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + d\).
  • Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Arithmetische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 1.3.

  • Richtig. Konstante Differenzen \(\Delta x_n\) sind die definierende Eigenschaft einer arithmetischen Folge.
  • Richtig. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 + n \cdot d\) oder \(x_n = x_1 + (n-1) \cdot d\).
  • Richtig. Die relativen Differenzen betragen \(\Delta x_n / x_{n-1} = d/x_{n-1}\), was nur für \(d = 0\) konstant ist.
  • Falsch. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + d)/x_{n-1} = 1 + d/x_{n-1}\).
  • Falsch. Die Folgenglieder einer arithmetischen Folge liegen auf dem Graph einer linearen Funktion mit Steigung \(d\).

Sei \((x_n)\) eine geometrische Folge mit relativer Änderung \(r\). Welche Aussagen sind richtig?

  • Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + x_0 \cdot r^n\).
  • Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.
  • Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + r\).
  • Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(r\).
  • Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(r \neq 0\).

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Geometrische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.3.

  • Falsch. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 \cdot (1 + r)^n\) oder \(x_n = x_1 \cdot (1 + r)^{n-1}\).
  • Richtig. Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion mit relativer Änderung \(r\) bzw. Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\).
  • Richtig. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + x_{n-1} \cdot r)/x_{n-1} = 1 + r\).
  • Falsch. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1} \neq r\).
  • Richtig. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1}\), was nur für \(r = 0\) konstant ist.

Welche Aussagen bzgl. der Endwertformel in der Zinsrechnung \(K_t = K_0 \cdot (1 + r)^t\) sind richtig?

  • Der Endwert \(K_t\) verhält sich wie eine geometrische Folge.
  • Um vom Endwert \(K_t\) auf den Anfangswert \(K_0\) zurückzuschließen, benötigt man den Abzinsungsfaktor und dieser beträgt \(1/r\).
  • Der Anfangswert \(K_0\) wird auch Barwert genannt.
  • Trägt man das Kapital \(K_t\) gegen die Zeit \(t\) ab, so liegen die Punkte auf einer Geraden.
  • In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapital um einen konstanten Faktor.

Details zur Endwertformel werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Verzinsungsmodelle vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.1 und 2.2.

  • Richtig. Eine geometrische Folge hat das Bildungsgesetz \(x_n = x_0 \cdot (1 + r)^n\), was genau der Endwertformel entspricht.
  • Falsch. Der Abziensungsfaktor beträgt \(d = 1/q = 1/(1 + r)\).
  • Richtig. Er entspricht dem Kapital, das man zu Beginn der Verzinsung bar zur Verfügung hat bzw. anlegen muss.
  • Falsch. Das Kapital bildet eine geometrische Reihe und liegt somit auf dem Graph einer Exponentialfunktion.
  • Richtig. Der Quotient aufeinanderfolgender Kapitalwerte ist \(K_t / K_{t-1} = 1 + r\), was ein gleichbleibender konstanter Wachstumsfaktor ist.

Welche Aussagen bzgl. Zinsrechnung mit positivem effektiven Zinssatz sind richtig?

  • Bei unterjähriger Verzinsung fallen unter dem Jahr keine Zinseszinsen an.
  • Der nominelle kontinuierliche Zinssatz ist immer größer als der effektive jährliche Zinssatz.
  • Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(1 + k \cdot \frac{c}{k}\).
  • Der effektive Zinssatz ist immer höher als der nominelle unterjährige Zinssatz, wenn es mehrere unterjährige Verzinsungszeitpunkte gibt.
  • Der effektive Zinssatz kann immer äquivalent in einen nominellen kontinuierlichen Zinssatz umgerechnet werden.

Details zu unterschiedlichen Verzinsungstypen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Unterjährige Verzinsung und Kontinuierliche Verzinsung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.5 und 2.6.2.

  • Falsch. Zu den unterjährigen Verzinsungszeitpunkten fallen bereits Zinseszinsen an.
  • Falsch. Durch die kontinuierlich anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle kontinuierliche Zinssatz.
  • Falsch. Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(\left(1 + \frac{c}{k}\right)^k\).
  • Richtig. Durch die unterjährig anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle unterjährige Zinssatz.
  • Richtig. Durch gleichsetzen der Wachstumsfaktoren \(1 + r = \exp(c)\) können die Zinssätze immer äquivalent umgerechnet werden.

Von 17:00 \((t = 0)\) bis 04:00 \((t = 11)\) Uhr findet in Innsbruck eine Benefizveranstaltung statt. Zu Beginn werden \(129\) Gäste eingelassen. Jeder Gast muss am Ende jeder vollen Stunde eine Spende abgeben. Diese beträgt konstant \(2.20\) GE. Da der Andrang auf die Benefizveranstaltung sehr groß ist, werden am Anfang jeder vollen Stunde \(10\) weitere Gäste eingelassen. Bis zum Ende verlässt niemand die Veranstaltung. Als vereinfachende Annahme muss die Anzahl an Personen nicht auf ganze Zahlen gerundet werden.

Wie viele GE werden bis 20:56 Uhr gespendet?

Ein Vater legt zum \(7\). Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem \(21\). Geburtstag ein Startkapital in Höhe von \(120000\) GE zu sichern. \(5\) Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf \(6.40\)% herab und der Vater muss \(5543.97\) GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?