Woche 12 – mathe4wiwi

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7	Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)	53-95	7i-n	5.1	5.1d-f
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Welche der Aussagen über diskrete Zufallsvariablen (oder Zufallsgrößen) sind richtig?

Die Funktion \(f(x_i) = P(X = x_i)\) mit \(i = 1, 2, \ldots\) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable \(X\).Der Träger einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt immer zwischen \(0\) und \(1\).Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) einer diskreten Zufallsvariable \(X\) ist eine Stufenfunktion. Die Sprungstellen sind die möglichen Werte von \(X\) und die Sprunghöhe sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) einer diskreten Zufallsvariable \(X\) kann aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) berechnet werden, jedoch kann umgekehrt nicht \(f(x)\) aus \(F(x)\) berechnet werden.Eine diskrete Zufallsvariable \(X\) kann nur endlich viele Werte annehmen.

Details zu diskreten Zufallsvariablen werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.1.

Richtig. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x_i)\) gibt die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_i)\) für alle \(i = 1, 2, \ldots\) an.
Falsch. Alle reellen Zahlen können im Prinzip im Träger einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung vorkommen.
Richtig. Die Verteilungsfunktion \(F(x) = P(X \le x)\) kann berechnet werden als die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(f(x_i)\) für \(x_i \le x\).
Falsch. Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) lässt sich auch aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) berechnen und umgekehrt.
Falsch. Eine Zufallsvariable \(X\) heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte \(x_1, x_2, \ldots, x_k, \ldots\) annehmen kann.

Welche der Aussagen über stetige Zufallsvariablen (oder Zufallsgrößen) sind richtig?

Jede Zufallsvariable, die unendlich viele Werte annehmen kann, ist stetig.Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall entspricht dem bestimmten Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte auf diesem Intervall.Der Median einer stetigen Zufallsvariablen ist der Wert, so dass 50% der Werte links und 50% der Werte rechts davon liegen.Eine stetige Zufallsvariable kann immer unendlich viele Werte annehmen.Für eine stetige Zufallsvariable \(X\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq x)\), also inklusive dem Wert \(x\), größer als \(P(X < x)\) ohne den Wert \(x\).

Details zu stetigen Zufallsvariablen werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.1.

Falsch. Auch diskrete Zufallsvariablen können im Prinzip unendlich viele Werte annehmen, allerdings dann nur abzählbar unendlich viele.
Richtig. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall kann man durch Integration aus der Dichte berechnen: \(\displaystyle P(a < X < b) = \int_a^b f(x) \text{d} x\).
Richtig. Für den Median \(x_{0.5}\) gilt: \(P(X \leq x_{0.5}) = P(X \geq x_{0.5}) = 0.5\).
Richtig. Die möglichen Ausprägungen einer stetigen Zufallsvariable sind immer überabzählbar, bspw. alle reellen Werte in einem bestimmten Intervall.
Falsch. Die Wahrscheinlichkeiten sind genau gleich \(P(X \leq x) = P(X < x)\), weil ein einzelner Punkt \(x\) keine Wahrscheinlichkeitsmasse hat.

Die Zeit \(X\) (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion: \[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 0 \\ 0.0096 \cdot \exp (-0.0096 x) & x \geq 0 \end{array} \right. \end{aligned}\]

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau \(333\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser zwischen \(64\) und \(105\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von \(62\)% eine Anstellung gefunden?

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) hat folgende Dichtefunktion

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{x\ln(14)} & 1 \leq x \leq 14 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.\]

Berechnen Sie die folgenden Größen. (Hinweis: Stellen Sie zunächst allgemein die Verteilungsfunktion \(F(x)\) auf, da diese für mehrere Berechnungen verwendet werden kann.)

\(F(8)\)

\(P(X = 17.8)\)

\(P(X < 8.5)\)

\(P(2.7 < X \leq 13.3)\)

\(x_{0.9}\)

Ein diskrete Zufallsvariable \(X\) hat folgende Verteilungsfunktion \(F(x)\) für \(x = 1, 2, \dots, 7\). Berechnen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\).

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
\(F(x)\)	\(0.17\)	\(0.30\)	\(0.37\)	\(0.43\)	\(0.75\)	\(0.81\)	\(1.00\)
\(f(x)\)

Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

\(P(X = 3) =\)

\(P(X > 6) =\)

\(P(3 \leq X < 6) =\)

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