Woche 13

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
7	Erwartungswert	96-109	7o-r	5.3	5.3
	Varianz	110-118	7s	5.3	5.3
					Quiz

Erwartungswert

7o

7p

7q

7r

Varianz

7s

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen zum Erwartungswert und zur Varianz einer Zufallsvariablen sind richtig?

• TRUEFALSE Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
• TRUEFALSE Verschiebt man eine Zufallsvariable \(X\) um eine positive Konstante \(c\), so erhöht sich die Varianz um den gleichen Wert.
• TRUEFALSE Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
• TRUEFALSE Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt der zufälligen Werte einer Zufallsvariablen.
• TRUEFALSE Der Erwartungswert einer linearen Transformation ist die lineare Transformation des Erwartungswerts: \(E(a \cdot X + b) = a \cdot E(X) + b\).

Details zu Erwartungswert und Varianz werden auf den VO-Folien zu Thema 7 in den Abschnitten Erwartungswert und Varianz vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.3.

• Richtig. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung sind Streuungsmaße für Zufallsvariablen.
• Falsch. Die Verschiebung um eine Konstante ändert die Varianz nicht: \(V(X + c) = V(X)\).
• Richtig. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung sind Streuungsmaße für Zufallsvariablen.
• Richtig. Der Grenzwert der Mittelwerte von Werten aus einer Zufallsvariablen ist der Erwartungswert (wenn dieser exisitiert).
• Richtig. Der Erwartungswert ist linear und kann deshalb mit linearen Transformationen vertauscht werden.

b

Ein Beratungsunternehmen überlegt die Expansion in eine neue Region. In einer umfangreichen Marktstudie wurde ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Anzahl an Neukunden gewonnen werden könnte.

Dabei ergaben sich folgende Werte:

Anzahl Kunden	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
Wahrscheinlichkeit	\(0.02\)	\(0.38\)	\(0.01\)	\(0.25\)	\(0.34\)

Die Kosten des Unternehmens für die Expansion belaufen sich auf Fixkosten von \(113\) GE und variable Kosten von \(36\) GE pro Kunde. Der Erlös pro Kunde beträgt \(86\) GE.

Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn (bzw. Verlust) der Expansion.

c

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) hat folgende Dichtefunktion

\[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{x\ln(8)} & 1 \leq x \leq 8 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right. \end{aligned}\]

Welchen Wert erhält man für \(E(X)\)?