6 Lineare Gleichungssysteme
Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Wintersemester 2023/24 werden begleitend zum Kurs an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.
Das Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \(\mathbf{Ax=b}\) nach \(\mathbf{x}\) auf. Die Matrix \(\mathbf{A}\) und der Vektor \(\mathbf{b}\) sind gegeben als \[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 36 & -48 \\ -5 & -44 & 59 \\ 4 & 40 & -51 \end{array} \right) \quad \mbox{und} \quad \mathbf{b} = \left( \begin{array}{r} -92 \\ 112 \\ -100 \end{array} \right).\] Welchen Wert nimmt das Element \(x_{3}\) an?
Mit Hilfe des Eliminationsverfahrens ergibt sich folgende Lösung:
I. \(\cdot \frac{1}{4}\). \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 9 & -12 & -23 \\ -5 & -44 & 59 & 112 \\ 4 & 40 & -51 & -100 \end{array}\right) \end{aligned}\]
III. \(- 4\)I. \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 9 & -12 & -23 \\ -5 & -44 & 59 & 112 \\ 0 & 4 & -3 & -8 \end{array}\right) \end{aligned}\]
II. \(+ 5\)I. \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 9 & -12 & -23 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 4 & -3 & -8 \end{array}\right) \end{aligned}\]
I. \(- 9\)II. \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 4 & -3 & -8 \end{array}\right) \end{aligned}\]
III. \(- 4\)II. \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}\]
I. \(+ 3\)III. \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}\]
II. \(+ 1\)III. \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}\] Das gesuchte Element ist demnach \(x_{3} = 4\).
Anwendungen linearer Gleichungssysteme
Aus den beiden Anfangsprodukten \(A_1\) und \(A_2\) werden die drei Endprodukte \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\) gefertigt. Pro Mengeneinheit von \(E_1\) werden \(16\) Stück von \(A_1\) und \(4\) Stück von \(A_2\) benötigt. Eine Einheit von \(E_2\) setzt sich aus \(7\) Stück \(A_1\) und \(16\) Stück \(A_2\) zusammen. \(E_3\) besteht aus \(17\) Stück \(A_1\) und \(2\) Stück \(A_2\). Es sind \(22620\) Stück von \(A_1\) und \(9048\) Stück von \(A_2\) auf Lager.
Aus technischen Gründen müssen die hergestellten Mengen im Verhältnis \(10 : 4 : 6\) stehen. Berechnen Sie die Produktionsmengen \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\), wenn die Lagerbestände zur Gänze verbraucht werden.
Wie viel kann von \(E_2\) hergestellt werden?
Die Informationen der Angabe können in folgender Tabelle zusammengefasst werden:
| \(E_1\) | \(E_2\) | \(E_3\) | Lager | |
|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | \(16\) | \(7\) | \(17\) | \(22620\) |
| \(A_2\) | \(4\) | \(16\) | \(2\) | \(9048\) |
Die Grundgleichung der Bedarfsplanung lautet \(\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}\). Die Bedarfsmatrix \(\mathbf{A}\) ist gegeben mit \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 16 & 7 & 17 \\ 4 & 16 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}\] Das Herstellungsverhältnis von \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\) beträgt \(10 : 4 : 6\). Der Outputvektor beträgt daher \[\begin{aligned} \mathbf{x} = \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 10 x \\ 4 x \\ 6 x \end{array} \right) \end{aligned}\] Da die gesamten Lagerbestände bei der Herstellung verbraucht werden, entspricht der Inputvektor \(\mathbf{b}\) den Lagerbeständen von \(A_1\) und \(A_2\) \[\begin{aligned} \mathbf{b} = \left( \begin{array}{r} 22620 \\ 9048 \end{array} \right) \end{aligned}\] Das zu lösende Gleichungssystem \(\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}\) lautet daher \[\begin{aligned} \begin{array}{rcrcrcrcccc} 16 \cdot 10 x & + & 7 \cdot 4 x & + & 17 \cdot 6 x & = & 22620 & \Longrightarrow & x & = & 78 \\ 4 \cdot 10 x & + & 16 \cdot 4 x & + & 2 \cdot 6 x & = & 9048 & \Longrightarrow & x & = & 78 \end{array} \end{aligned}\] Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung \(x = 78\). Damit beträgt die Menge von \(E_2\), die hergestellt werden kann: \(E_{2} = 4 \cdot x = 4 \cdot 78 = 312\).