Woche 10

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
6	Globale Optimierung	24-37	6f-g	8.6	8.6
	Implizite Funktionen	38-48	6h-i	8.7	8.7
	Optimierung unter Nebenbedingungen	49-60	6j-k	8.8	8.8
					Quiz

Globale Optimierung

Implizite Funktionen

Optimierung unter Nebenbedingungen

Quiz

Welche der folgenden Aussagen bzgl. Funktionen \(f(x_1, x_2)\) sind richtig?

Wenn \(\mathbf{a}\) ein globales Maximum oder Minimum ist, dann ist \(f'(\mathbf{a}) = 0\).
Jede konvexe Funktion hat genau ein Maximum und ein Minimum.
Bei einer konkaven Funktion ist jeder stationäre Punkt ein globales Maximum.
Damit ein stationärer Punkt ein Maximum ist, müssen alle Elemente der Hesse-Matrix kleiner als \(0\) sein.
\(f(x_1, x_2)\) heißt konvex, wenn \(f''(x_1, x_2)\) überall positiv semidefinit ist.

Details zur Optimierung von Funktionen mit zwei Variablen werden auf den VO-Folien zu Thema 6 im Abschnitt Globale Optimierung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 8.4.

Richtig. \(f'(\mathbf{a}) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für ein Maximum oder Minimum.
Falsch. Bei einer konvexen Funktion ist jeder stationäre Punkt ein globales Minimum.
Richtig. Bei einer konkaven Funktion ist jeder stationäre Punkt ein globales Maximum.
Falsch. Die Hesse-Matrix muss negativ semidefinit sein aber nicht alle Elemente müssen kleiner als \(0\) sein.
Richtig. Eine Funktion heißt konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall positiv semidefinit ist.

Welche der folgenden Aussagen bzgl. Funktionen \(F(x_1, x_2)\) sind richtig?

Unter der Bedingung, dass \(F(x_1, x_2) = \text{const}\) ist \(x_1 = f(x_2)\) implizit festgelegt.
Ist \(x_1 = f(x_2)\) implizit festgelegt und \(f'(x_2) = -2\), dann können zwei marginale Einheiten von \(x_2\) durch eine marginale Einheit von \(x_1\) substitutiert werden.
Die Steigung einer impliziten Funktion gibt das Tauschverhältnis der beiden Variablen an, bei dem der Funktionswert konstant bleibt.
Bei einer Optimierung von \(C(x_1, x_2)\) unter der Nebenbedingung \(F(x_1, x_2) = \text{const}\), müssen alle partiellen Ableitungen von \(C\) und \(F\) gleich \(0\) sein.
Der Lagrange-Multiplikator gibt an, um wie viel sich der optimale Wert der Zielfunktion näherungsweise ändern würde, wenn die Nebenbedingung um eine marginale Einheit gelockert wird.

Details zu implizit definierten Funktionen sowie der Methode von Lagrange werden auf den VO-Folien zu Thema 6 in den Abschnitten Implizite Funktionen und Optimierung unter Nebenbedingungen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 8.5 und 8.6.

Richtig. Die Bedingung legt implizit entweder \(x_1\) als Funktion von \(x_2\) fest oder umgekehrt \(x_2\) als Funktion von \(x_1\).
Falsch. Eine marginale Einheit von \(x_2\) kann durch zwei marginale Einheiten von \(x_1\) substitutiert werden.
Richtig. Die Steigung einer impliziten Funktion ist gegeben durch \(-\frac{F'_1(x_1, x_2)}{F'_2(x_1, x_2)}\) und gibt somit das Tauschverhältnis an, bei dem der Funktionswert (approximativ) konstant bleibt.
Falsch. Die Steigung der impliziten Funktionen von \(C\) und \(F\) müssen in einem Optimum unter Nebenbedingung gleich sein, nicht aber die partiellen Ableitung \(0\).
Richtig. Wenn \(C(x_1, x_2)\) die Zielfunktion und \(F(x_1, x_2) = q\) die Nebenbedingung ist, so gilt \(\frac{\partial C^*}{\partial q} = \lambda^*\).

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \(A\) und \(B\) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion \[\begin{aligned} q = F(x_1, x_2) = 8 \cdot \ln \left (x_1 \right ) + 10 \cdot \ln \left (x_2 \right ). \end{aligned}\] Dabei bezeichnen \(x_1\) und \(x_2\) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \(A\) und \(B\) und \({q = F(x_1, x_2)}\) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination \((x_1, x_2) = (2, 2)\).

Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle \(\mathbf{x} = (2, 2)^\top\) unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion \(F(\mathbf{x})\).

Momentane Änderungsrate von Faktor \(A\) bei Erhöhung von Faktor \(B\) um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von \(F(2, 2)\) Mengeneinheiten.

Exakte Veränderung von \(A\), wenn sich \(B\) um \(0.2\) Einheiten verringert.

Approximative Veränderung von \(A\), wenn sich \(B\) um \(0.2\) Einheiten verringert.

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion \(F(K,L)\) in Abhängigkeit von Kapital (\(K\)) und Arbeit (\(L\)) auf \[F(K,L)= K^{0.45} L^{0.55}.\] Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \(p_K=29\) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \(p_L=12\). Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von \(250\) ME produziert werden soll.

Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?

Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?

Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) im Kostenminimum?

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?