2 Elementare Finanzmathematik

Verzinsungsmodelle

a

Wie hoch ist der Endwert eines Kapitals \(K_0 = 2601.00\) nach \(9\) Perioden bei jährlicher Verzinsung mit dem Zinssatz \(r = 0.065\)?

Mit der Endwertformel erhalten wir: \[\begin{aligned} K_{9} = K_0 \cdot (1 + r)^{9} = 2601.00 \cdot (1 + 0.065)^{9} \approx 4584.45 \end{aligned}\] Der Endwert des Kapitals beträgt \(4584.45\) GE.

b

Wie hoch ist der Barwert eines Kapitals \(K_{5} = 4487.00\) bei einem Zinssatz von \(r = 0.045\)?

Mit der Barwertformel erhalten wir: \[\begin{aligned} K_0 = \frac{K_{5}}{(1 + r)^{5}} = \frac{4487.00}{(1 + 0.045)^{5}} \approx 3600.60 \end{aligned}\] Der Barwert des Kapitals beträgt \(3600.60\) GE

c

Ein Vater legt zum \(8\). Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem \(22\). Geburtstag ein Startkapital in Höhe von \(380000.00\) GE zu sichern. \(6\) Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf \(9.00\)% herab und der Vater muss \(13436.00\) GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Bezeichne \(A\) das ursprünglich angelegte Kapital und \(r\) den anfänglichen Zinssatz. Aus der Angabe erhalten wir zwei Gleichungen:

Ohne Zinssenkung:	\(A \cdot (1 + r)^{14} = 380000.00\)
Mit Zinssenkung:	\([A \cdot (1 + r)^{6} + 13436.00] (1 + 0.09)^{8} = 380000.00\)

Freistellen von \(A\) in der ersten Gleichung ergibt:

\(A = \frac{380000.00}{(1 + r)^{14}}\)

Einsetzen in die zweite Gleichung:

\(\left [\frac{380000.00}{(1 + r)^{14}} \cdot (1 + r)^{6} + 13436.00 \right ] \cdot (1 + 0.09)^{8} = 380000.00\)

Durch Umformungen erhalten wir \(r = 10.00\)%.

Laufzeiten

a

Wie lange müssen \(23000\) GE zu \(8.25\)% p.a. mit Zinseszinsen angelegt werden, damit das Endkapital \(58000\) GE beträgt?

Einsetzen in die Endwertformel liefert eine Exponentialgleichung, die nach \(t\) aufgelöst werden kann. \[\begin{aligned} K_t & = & K_0 \cdot (1 + r)^t \\ 58000 & = & 23000 \, \cdot (1 + 0.0825)^t \\ \frac{58000}{23000} &=& 1.0825^t \\ t &=& \frac{\log\left(\frac{58000}{23000}\right)}{\log\left(1.0825\right)} \\ & = & 11.667865 \approx 11.67 \end{aligned}\] Das Kapital muss also für \(11.67\) Jahre angelegt werden.

b

Wie lange dauert es, bis sich das Kapital auf einem Sparbuch mit Zinssatz \(6\)% p.a. durch Verzinsung verfünffacht?

Einsetzen in die Endwertformel liefert eine Exponentialgleichung, die nach \(t\) aufgelöst werden kann. Der Endwert \(K_t\) soll dabei \(5\)-fache des Anfangswerts \(K_0\) sein. \[\begin{aligned} K_t & = & K_0 \cdot (1 + r)^t \\ 5 \cdot K_0 & = & K_0 \cdot (1 + 0.06)^t \\ 5 & = & 1.06^t \\ t & = & \frac{\log(5)}{\log(1.06)} \\ & = & 27.62087 \end{aligned}\] Das Kapital muss also für \(27.62\) Jahre angelegt werden.

Geometrische Folgen

a

Die Mülldeponie einer Gemeinde hat ein Fassungsvermögen von \(692000 \, m^3\). Zum gegenwärtigen Zeitpunkt hat die Gemeinde \(500\) Einwohner, von denen jeder \(2 \, m^3\) Müll pro Jahr deponiert. Die Einwohnerzahl steigt um \(3\) Prozent pro Jahr. Die Berechnungen des Umweltgemeinderates ergeben, dass unter diesen Voraussetzungen die Deponie nach etwa \(104\) Jahren geschlossen werden müsste. Wenn es allerdings gelänge, die Müllproduktion pro Einwohner um \(15\) Prozent zu drosseln, wie hoch wäre dann der nach \(104\) Jahren noch verfügbare Deponieraum?

Durch die Drosselung sinkt die Müllmenge pro Person von \(2\) auf \(2 \cdot (1 - 0.15) = 1.7 \, m^3\).

Die im ersten Jahr anfallende Müllmenge (in \(m^3\)) ist also \(a_1 = 1.7 \cdot 500 = 850\).

Da die Einwohnerzahl und somit die Müllmenge jährlich um \(3\)% wächst, beträgt die Müllmenge (in \(m^3\)) im \(n\)-ten Jahr: \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1} = 850 \cdot 1.03^{n - 1}\).

Die gesamte Müllmenge beträgt nach \(n = 104\) Jahren \[\begin{aligned} s_n & = & x_1 + \dots + x_n ~=~ x_1 \frac{q^n-1}{q-1} \\ & = & 850 \cdot \frac{1.03^{104} - 1}{1.03 - 1}\\ & = & 584537.6223 \end{aligned}\]

Der nach \(104\) Jahren noch verfügbare Deponieraum beträgt somit \(692000 - 584537.6223 \approx 107462.38\, m^3\).

b

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie \(32000 \, m^3\) Müll an, im zweiten Jahr \(34560 \, m^3\). Das Wachstum der anfallenden Müllmenge erfolgt geometrisch. Insgesamt bietet die Mülldeponie Raum für \(2900000 \, m^3\) Müll.
Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Der Anstieg der Müllmenge im ersten Jahr von \(x_1 = 32000\) auf \(x_2 = 34560\) entspricht einem Wachstumsfaktor von \[\begin{aligned} q & = & \frac{34560}{32000} = 1.08 \end{aligned}\] Die im \(n\)-ten Jahr anfallende Müllmenge beträgt also \[\begin{aligned} x_n & = & 32000 \cdot q^{n - 1} = 32000 \cdot 1.08^{n - 1} \end{aligned}\] Somit beträgt die gesamte Müllmenge nach \(n\) Jahren \[\begin{aligned} s_n & = & x_1 + \dots + x_n ~=~ x_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \\ & = & 32000 \cdot \frac{1.08^n - 1}{1.08 - 1} \end{aligned}\] Die Deponie muss geschlossen werden, wenn \(s_n = 2900000\). Es ist also die Gleichung \[\begin{aligned} 32000 \cdot \frac{1.08^n - 1}{1.08 - 1} = 2900000 \end{aligned}\] nach \(n\) aufzulösen. Dies führt auf die Exponentialgleichung \[\begin{aligned} 1.08^n = 1 + 0.08 \cdot \frac{2900000}{32000}, \end{aligned}\] die wir mit dem Logarithmus lösen können. Die Lösung ergibt \(n \approx 27.419239\). Die Deponie muss also nach \(27.42\) Jahren geschlossen werden.

Finanzmathematische Renten

a

Die jährlichen Betriebskosten einer Maschine belaufen sich auf \(7700\) GE und die jährlichen Erträge, die mit ihr erwirtschaftet werden, betragen \(12900\) GE. Bis zu welchem Anschaffungspreis ist der Kauf der Maschine rentabel, wenn sie nach \(6\) Jahren ersetzt werden muss und man mit \(4\)% p.a. Zinseszinsen (nachschüssig) rechnet?

Die jährliche Ersparnis wird als Rente angesehen. Die Anschaffung ist rentabel, wenn diese Rente als Barwert die Anschaffungskosten besitzt. Die jährliche Ersparnis beträgt \[\begin{aligned} a = 12900-7700=5200 \end{aligned}\] und die Laufzeit ist \(t=6\) Jahre. Mit dem Abzinsungsfaktor \[\begin{aligned} d=\frac{1}{1+r}=\frac{1}{1.04} \end{aligned}\] ergibt sich als nachschüssiger Barwert: \[\begin{aligned} B &=& a \cdot d \frac{1-d^{ 6 }}{1-d} = 27259.111655 \end{aligned}\] Die gesuchte Höhe des Anschaffungspreises beträgt \(27259.11\) GE.

b

Zur Finanzierung einer vorschüssigen Rente in Höhe von \(2491\) GE steht ein Kapital in Höhe von \(32000\) GE zur Verfügung. Wie viele Jahre kann die Rente ausbezahlt werden, wenn der Zinssatz \(7.25\)% beträgt?

Es soll die Laufzeit einer vorschüssigen Rente mit gegebenem Barwert berechnet werden. Der Barwert der Rente lautet \(B = 32000\) GE und die Prämie beträgt \(a = 2491\) GE. Der Abzinsungsfaktor ist \(d = \frac{1}{1 + r} = \frac{1}{1 + 0.0725}\).
Aus der Formel für den Barwert einer vorschüssigen Rente \[\begin{aligned} B = a \cdot \frac{1 - d^t}{1 - d} \end{aligned}\] erhalten wir eine Exponentialgleichung für die Laufzeit \(t\): \[\begin{aligned} d^t = 1 - \frac{B}{a} \cdot (1 - d) \end{aligned}\] Für die gesuchte Laufzeit gilt daher \[\begin{aligned} t=\frac{\text{log} \left(1 - \frac{B}{a} \cdot (1 - d)\right)}{\text{log}(d)} \end{aligned}\] Wenn wir nun die gegebenen Zahlen einsetzen, erhalten wir die Lösung: \[\begin{aligned} t = 28.973798 \end{aligned}\] Die Rente kann also rund \(28.97\) Jahre lang ausbezahlt werden.

c

Eine Firma will ein Grundstück kaufen, auf dem eine zeitlich unbegrenzte Verpflichtung ruht, am Ende jedes Jahres \(8000\) GE zur Erhaltung der Ortswasserleitung beizutragen. Mit welchem nachschüssigen jährlichen Betrag kann diese Verpflichtung bereits innerhalb von \(11\) Jahren abgegolten werden, wenn eine \(5\)%ige Verzinsung angenommen wird?

Eine ewige Rente soll in eine Rente mit einer Laufzeit von \(11\) Jahren umgewandelt werden. Der Abzinsungsfaktor beträgt \(d = \frac{1}{1 + r} = \frac{1}{1.05}\).
Damit die beiden Renten äquivalent sind, muss der Barwert der ewigen nachschüssigen Rente mit der Prämie \(a = 8000\), \[\begin{aligned} B = a d \cdot \frac{1}{1 - d}, \end{aligned}\] mit dem Barwert einer nachschüssigen Rente der Höhe \(R\) und der Laufzeit von \(t = 11\) Jahren übereinstimmen: \[\begin{aligned} a d \cdot \frac{1}{1 - d} = R d \cdot \frac{1-d^{11}}{1-d} \end{aligned}\] Daraus ergibt sich für die Prämie der neuen Rente: \[\begin{aligned} R = \frac{a}{1 - d^{11}} = \frac{8000}{1 - \left(\frac{1}{1.05}\right)^{11}} \approx 19262.22 \end{aligned}\]

d

Sie planen in \(12\) Jahren eine Weltreise zu machen und brauchen dafür jeden Monat \(1600\) GE. Da Sie noch nicht wissen, wie lange diese dauern wird, gehen Sie von einer ewigen nachschüssige Rente aus. Die Bank garantiert Ihnen einen Zinssatz von \(2.5 \%\) bei jährlicher Verzinsung. Wie viel brauchen Sie heute \((t=0)\) auf der Bank um Ihre Weltreise realisieren zu können?

Der Barwert einer vorschüssigen ewigen Rente ist gegeben durch \[\begin{aligned} B_\infty = \frac{a}{1 - d} \quad \mbox{mit} \quad d = \frac{1}{1 + r} \end{aligned}\] Da aber die Zahlungen der Rente nachschüssig geleistet werden, muss jede Zahlung einmal öfter abgezinst werden. \[\begin{aligned} B_\infty = \frac{a \cdot d}{1 - d} \quad \mbox{mit} \quad d = \frac{1}{1 + r} \end{aligned}\] Daraus erhalten wir \[\begin{aligned} B_\infty = \frac{1600 \cdot 0.97561}{1 - 0.97561} \quad \mbox{mit} \quad d = \frac{1}{1 + 0.025} \end{aligned}\] Also beträgt der Barwert unserer ewigen nachschüssigen Rente \[\begin{aligned} B_\infty = 64000 \approx 64000.00 \end{aligned}\]

Da die Weltreise aber erst in \(12\) Jahre anfängt, haben wir jetzt den Barwert im Jahr \(12\), also \(K_{12}\) berechnet. Um den jetztigen \((t = 0)\) Barwert \(K_0\) zu berechnen, müssen wir demnach \(K_{12}\) noch um \(12\) Jahre abzinsen. \[\begin{aligned} K_0 &=& 64000 \cdot 1.025^{-12}\ = 47587.576643 \\ K_0 &\approx& 47587.58 \end{aligned}\]

Unterjährige Verzinsung

a

Man weiß, dass zwei Brüder Karl und Anton, die vor \(7\) Jahren gemeinsam \(50809\) GE geerbt haben, jetzt zusammen \(65494\) GE besitzen. Karl hat sein Geld von Beginn an mit \(3.25\)% bei jährlicher Verzinsung und Anton seinen Anteil mit \(4\)% bei halbjährlicher Verzinsung angelegt.

Wieviel hatte jeder von ihnen geerbt?

Karl:

Anton:

Wir bezeichnen den Erbteil von Karl mit \(K\) und jenen von Anton mit \(A\). Diese Erbteile erfüllen die folgenden zwei Gleichungen: \[\begin{aligned} K + A &=& 50809 \\ K \cdot (1 + 0.0325)^{7} + A \cdot \left[\left(1 + \frac{0.04}{2}\right)^{2}\right]^{7} &=& 65494 \end{aligned}\] Die (eindeutige) Lösung dieses Systems linearer Gleichungen ist \[\begin{aligned} K = 22571.207718, \quad A = 28237.792282. \end{aligned}\]

• Karl hat \(22571.21\) GE erhalten.
• Anton hat \(28237.79\) GE erhalten.

b

Ein Kreditbüro möchte Darlehen mit einem effektiven Jahreszinssatz von \(8.1\) Prozent zur Verfügung stellen. Es soll allerdings nur der nominelle Zinssatz bei halbjährlicher Verzinsung veröffentlicht werden. Wie hoch muss der nominelle Zinssatz gewählt werden?

Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.

Für den effektiven Zinssatz \(r\) und den nominellen Zinssatz \(c\) muss gelten, dass die zugehörigen Wachstumsfaktoren gleich sind: \(1 + r = (1 + \frac{c}{k})^k\).

Der nominelle Zinssatz beträgt somit \[\begin{aligned} c = k \cdot \left((1 + r)^{\frac{1}{k}} - 1\right) = 2 \cdot \left((1 + 0.081)^{\frac{1}{2}} - 1\right) \approx 0.0794 = 7.94\%. \end{aligned}\]

Exponentialfunktion und Logarithmus

a

Die Bevölkerung eines Entwicklungslandes wächst jährlich um \(2.00\%\). Wie stark muss das Volkseinkommen jährlich wachsen, damit sich das Einkommen pro Kopf innerhalb von \(7\) Jahren verdoppelt? Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.

Die Bevölkerung wächst nach dem Modell einer Exponentialfunktion: \[B(t) = B(0)\cdot (1.02)^t\]

Das Nationalprodukt wächst nach dem gleichen Modell, aber mit unbekannter Wachstumsrate: \[E(t)=E(0)\cdot a^t\]

Das Einkommen pro Kopf ist dementsprechend: \[\frac{E(t)}{B(t)} = \frac{E(0) \cdot a^t}{B(0) \cdot (1.02)^t} = \frac{E(0)}{B(0)} \cdot \left(\frac{a}{1.02}\right)^t\]

Damit sich das Einkommen pro Kopf bei einem Bevölkerungswachstum von \(2\%\) p.a. in \(7\) Jahren verdoppelt, muss folgende Bedingung erfüllt sein: \[\begin{aligned} \frac{E(7)}{B(7)} &=& 2 \cdot \frac{E(0)}{B(0)}\\ \frac{E(0)}{B(0)} \cdot \left(\frac{a}{1.02}\right)^{7} &=& 2 \cdot \frac{E(0)}{B(0)}\\ \left(\frac{a}{1.02}\right)^{7} &=& 2\\ a &=& 2^{\frac{1}{7}} \cdot (1.02) = 1.126171 \end{aligned}\] Die jährliche Wachstumsrate des Volkseinkommens muss \(12.62\%\) betragen.

b

Das Bruttoinlandsprodukt eines Landes stieg zwischen \(1994\) und \(2001\) von \(963\) Mrd. GE auf \(1626\) Mrd. GE. Es wird vorausgesetzt, dass die nominelle relative Wachstumsrate des BIP konstant ist.

In wie vielen Jahren (ab \(2001\)) erreicht das BIP eine Höhe von \(2601.6\) Mrd. GE?

Das BIP wächst nach dem Modell einer Exponentialfunktion mit der nominellen relativen Wachstumsrate \(c\). \[\begin{aligned} BIP(2001) = BIP(1994) \cdot e^{c (2001-1994)} \end{aligned}\] Zunächst berechnen wir die relative Wachstumsrate. \[\begin{aligned} 1626 & = & 963 \cdot e^{7 \cdot c} \\ 1.688474 & = & e^{7 \cdot c} \\ ln \left(1.688474 \right) & = & 7 \cdot c \\ \frac{0.523825}{7} & = & c \\ c & = & 0.074832 \\ \end{aligned}\] Da die relative Wachstumsrate konstant ist, wächst das BIP mit der Wachstumsrate \(c = 0.074832\) weiter und erreicht zu einem Zeitpunkt \(t\) den Wert \(2601.6\).
\[\begin{aligned} 2601.6 & = & 1626 \cdot e^{0.074832 \cdot t} \\ ln \left(\frac{2601.6}{1626} \right) & = & 0.074832 \cdot t \\ 0.470004 & = & 0.074832 \cdot t \\ t & = & 6.280773 \approx 6.28 \end{aligned}\] Es dauert \(6.28\) Jahre bis das BIP den erwünschten Wert erreicht hat.

c

Der Holzbestand eines Waldes beträgt \(8352\) \(m^3\) (\(t=0\)). Ohne Schlägerung wächst er insgesamt in den nächsten \(6\) Jahren um \(14\%\). Es wird vorausgesetzt, dass die relative Wachstumsrate des Waldes konstant ist. Wie groß ist der Holzbestand (\(m^3\)) nach \(16\) Jahren?

Bei Annahme von kontinuierlichem Wachstum mit konstantem relativen Zuwachs gilt für den Holzbestand zum Zeitpunkt \(t\): \[\begin{aligned} f(t) = Aa^t \end{aligned}\]

Aus der Angabe wissen wir: \[\begin{aligned} f(0) &=& Aa^0 = A = 8352\\ f(6) &=& 1.14 \cdot f(0) \end{aligned}\]

Somit kann der Wachstumsfaktor \(a\) berechnet werden: \[\begin{aligned} 1.14 &=& \frac{f(6)}{f(0)} = \frac{Aa^{6}}{Aa^0} = a^{6}\\ a &=& (1.14)^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{1.14} \approx 1.022078 \end{aligned}\]

Also beträgt die Wachstumsrate \(r = 0.022078\), d.h. rund \(2.21\%\) pro Jahr.

Die Wachstumsfunktion lautet daher \(f(t) = 8352 \cdot 1.022078^t\).

Folglich beträgt der Holzbestand nach \(16\) Jahren (gerundet): \[\begin{aligned} f(16) = 8352 \cdot 1.022078^{16} = 11845.05 \end{aligned}\]

Kontinuierliche Verzinsung

a

In welcher Zeit erhält man das \(5.5\)-fache eines Anfangskapitals, wenn man es mit einem nominellen Zinssatz von \(4.4\)% kontinuierlich verzinst?

Der Endwert \(K(t)\) nach \(t\) Jahren soll \(5.5 \cdot K(0)\) sein, d.h. \[\begin{aligned} 5.5 ~=~ \frac{K(t)}{K(0)} ~=~ \frac{K(0) \cdot e^{c \cdot t}}{K(0)} ~=~ e^{c \cdot t} ~=~ e^{0.044 \cdot t}. \end{aligned}\] Die Lösung dieser Exponentialgleichung ist \(t = 38.744275\). Das heißt, die gewünschte Vervielfachung des Anfangskapitals ist nach ungefähr \(38.74\) Jahren erreicht.

b

Ein Kapital \(K_0\) wird kontinuierlich so verzinst, dass es pro Jahr effektiv um \(15.0\)% wächst. Berechnen Sie den nominellen Zinssatz (in %).

Das Kapital wächst jährlich effektiv um den Aufzinsungsfaktor \(q = 1 + r = 1.15\). Bei kontinuierlicher Verzinsung mit nominellen Zinssatz \(c\) beträgt der Aufzinsungsfaktor \(q = e^c\).

Damit ist \(c = \ln q = \ln (1 + r) = \ln (1.15) = 0.139762\). Der nominelle Zinssatz beträgt also ungefähr \(13.98\)%.

c

Ein Kapital \(K_0\) wird mit \(17.2\)% nominell verzinst. Wie hoch ist der effektive Zinssatz (in %) bei kontinuierlicher Verzinsung?

Bei kontinuierlicher Verzinsung mit nominellen Zinssatz \(c = 0.172\) beträgt der Aufzinsungsfaktor \(q = e^c = 1.187678\). Das entspricht einem Aufzinsungsfaktor \(q = 1 + r\) bei einem effektiven Zinssatz von \(r\).

Damit ist \(r = e^c - 1 = e^{0.172} - 1 = 0.187678\). Der effektive Zinssatz beträgt also ungefähr \(18.77\)%.

Gemischte Aufgaben

a

Von 18:00 \((t = 0)\) bis 03:00 \((t = 9)\) Uhr findet in Innsbruck eine Benefizveranstaltung statt. Zu Beginn werden \(210\) Gäste eingelassen. Jeder Gast muss am Ende jeder vollen Stunde eine Spende abgeben. Diese beträgt konstant \(1.30\) GE. Da der Andrang auf die Benefizveranstaltung sehr groß ist, werden am Anfang jeder vollen Stunde \(10\) weitere Gäste eingelassen. Bis zum Ende verlässt niemand die Veranstaltung. Als vereinfachende Annahme muss die Anzahl an Personen nicht auf ganze Zahlen gerundet werden.

Wie viele GE werden zwischen 19:56 und 23:42 Uhr gespendet?

Die Anzahl Personen, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt auf der Benefizveranstaltung befinden lässt sich mithilfe der arithmetischen Folge \[\begin{aligned} P_t = 210 + 10 t \hspace{0.5cm} \text{~mit~} t = 0,1,\ldots,9 \end{aligned}\] berechnen, wobei \(t\) die vergangenen Stunden seit 18:00 Uhr bezeichnet.

Der Spendenbetrag, der zu einem bestimmten Zeitpunkt gespendet wird, stellt auch eine arithmetische Folge dar \[\begin{aligned} B_t &=& 1.3 \cdot P_{t-1}\\ &=& 1.3 \cdot (210 + 10 (t-1))\\ &=& 273 + 13 (t-1) \hspace{0.5cm} \text{~mit~} t = 1,\ldots,9. \end{aligned}\] Die Indexverschiebung in \(P_{t-1}\) wird benötigt, weil am Ende jeder vollen Stunde nur jene Personen spenden, die schon am Beginn dieser vollen Stunde anwesend waren.

Die erste Spendenrunde nach 19:56 Uhr ist um 20:00 Uhr. Also \(2\) Stunden nach Beginn. Die letzte Spendenrunde vor 23:42 Uhr ist um 23:00 Uhr. Also \(5\) Stunden nach Beginn. \[\begin{aligned} S_{2, 5} &=& B_{2} + \ldots + B_{5}\\ &=& 286 + \ldots + 325 \end{aligned}\]

Die Summe dieser \(4\) Folgenglieder kann mittels der Summenformel für arithmetische Reihen berechnet werden. \[\begin{aligned} S_{4} &=& 4 \cdot \frac{286 + 325}{2}\\ &=& 1222.00 \end{aligned}\]

Zwischen 19:56 und 23:42 Uhr werden somit \(1222.00\) GE gespendet.

b

Frau Maier möchte zur Finanzierung einer privaten Zusatzpension kontinuierlich \(8\)% ihres Nettoeinkommens in eine Lebensversicherung einzahlen. Im \(1\). Jahr beträgt ihr Jahresnettoeinkommen \(48000\) GE und sie geht in den folgenden Jahren von einer Gehaltserhöhung mit einer nominellen Rate von \(2.5\)% aus. Das Versicherungsunternehmen XY AG bietet Frau Maier eine fondsgebundene Lebensversicherung an, wobei garantiert wird, dass sie ihre Einzahlungen zumindest unverzinst zurückerhält.

Wieviel zahlt Frau Maier gesamt im \(23\). Jahr ein?

Zunächst sind aus der Angabe die folgenden drei Punkte zu eruieren:

1. Erfolgen die Einzahlungen diskret oder kontinuierlich?

2. Findet das Wachstum konstant absolut (d.h. linear) oder konstant relativ (d.h. exponentiell) statt?

3. Ist ein Endwert oder eine Summe bzw. ein Integral gefragt?

Im vorliegenden Fall erfolgen die Einzahlungen kontinuierlich und sie wachsen konstant relativ, sprich exponentiell mit einer nominellen Rate von \(c = 2.5\)%. Die anfängliche Einzahlungsrate zum Zeitpunkt \(t=0\) beträgt \(48000 \cdot 0.08 = 3840\) GE p.a. Gefragt ist nach der Gesamteinzahlung im \(23\). Jahr, d.h. nach dem Integral eines kontinuierlichen Zahlungsstroms im Intervall \([22, 23]\). Die Lösung stellt sich daher wie folgt dar:

Die kontinuierlichen Einzahlungen wachsen mit der Funktion: \[\begin{aligned} f(t) = 3840 \cdot e^{0.025 t} \end{aligned}\] Das Integral der kontinuierlichen Einzahlungen im Intervall \([22, 23]\) ergibt sich dann wie folgt: \[\begin{aligned} a_{23} & = & \int_{22}^{23} \left( 3840 \cdot e^{0.025 t} \right) \text{d} t \\ & = & 3840 \cdot \left[ \frac{1}{0.025} \cdot e^{0.025 t} \right]_{22}^{23} \\ & = & 6739.59 \end{aligned}\]

Frau Maier leistet im \(23\). Jahr somit eine Gesamteinzahlung von \(6739.59\) GE.

c

Palmöl wird vor allem in der Nahrungsmittelindustrie und zur Herstellung von Kosmetik verwendet. Anfang 1980 \((t = 0)\) betrug die Anbaufläche \(3.97\) Millionen Hektar. Der jährliche Ertrag einer Palmölplantage beträgt im Durchschnitt \(3.4\) Tonnen pro Hektar. Da die Nachfrage in den letzten Jahrzehnten stark angestiegen ist, wurden kontinuierlich, mit einer nominellen Wachstumsrate von \(3.5 \%\), neue Anbauflächen erschlossen.

Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde zwischen Anfang des 4. Quartal 1990 und Anfang des 3. Quartal 2010 produziert?

Zum Zeitpunkt \(t\) beträgt die Anbaufläche \[F(t) = 3.97 \cdot e^{0.035 \cdot t}\] Millionen Hektar. Somit werden zum Zeitpunkt \(t\) \[P(t) = F(t) \cdot 3.4 = 13.498 \cdot e^{0.035\cdot t}\] Millionen Tonnen Palmöl pro Jahr produziert. Um die Produktionsmenge bis zu einem gewissen Zeitpunkt zu berechnen, benötigen wir das Integral der Funktion \(P(t)\). Dabei entspricht das 4. Quartal 1990 \(t = 10.75\) und das 3. Quartal 2010 \(t = 30.5\).

\[\begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} ~P(\tau) ~\text{d}\tau &=& 13.498 \cdot \int_{10.75}^{30.5} e^{0.035\cdot \tau} ~\text{d}\tau \\ &=& 13.498 \cdot \left[ \frac{e^{0.035\cdot \tau}}{0.035} \right]_{10.75}^{30.5} \\ &=& 385.657143 \cdot \left[ e^{0.035\cdot \tau}\right]_{10.75}^{30.5} \\ &=& 385.657143 \cdot \left( e^{0.035\cdot 30.5} - e^{0.035\cdot 10.75} \right) \\ &=& 559.699916 \approx 559.70 \end{aligned}\]

Somit beträgt die Produktionsmenge \(559.70\) Millionen Tonnen.

d

Palmöl wird vor allem in der Nahrungsmittelindustrie und zur Herstellung von Kosmetik verwendet. Anfang 1983 \((t = 0)\) betrug die Gesamtfläche \(4.2\) Millionen Hektar bei einem jährlichen Ertrag von \(3.7\) Tonnen pro Hektar. Durch Effizienzverbesserungen in den letzten Jahrzehnten wurde am Ende jeden Jahres der Ertrag um \(4.5 \%\) gesteigert, um die steigende Nachfrage nach Palmöl zu befriedigen.

Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde zwischen Anfang des 1. Quartals 1987 und Anfang des 1. Quartals 2005 produziert?

Der Ertrag zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt sich mithilfe der geometrischen Folge \[\begin{aligned} E_t = 3.7 \cdot 1.045^{t} \hspace{0.5cm} \text{~mit~} t = 0,1,2,3,\ldots \end{aligned}\] berechnen, wobei \(t\) der Anzahl der vergangenen Jahre seit \(t=0\) entspricht.

Die Produktionsmenge im \(t\)-ten Jahr stellt auch eine geometrische Reihe dar. \[\begin{aligned} P_t &=& 4.2 \cdot E_{t-1}\\ &=& 4.2 \cdot 3.7 \cdot 1.045^{t-1} \hspace{0.5cm} \text{~mit~} t = 1,2,3,\ldots \end{aligned}\]

Die Indexverschiebung \(E_{t-1}\) wird benötigt, da für die Produktionsmenge eines Jahres der Ertrag pro Hektar, der zu Anfang dieses Jahres verfügbar war, maßgebend ist.

\[\begin{aligned} S_{5, 22} &=& P_{5} + \ldots + P_{22}\\ &=& 18.531739 + \ldots + 39.164548\\ \end{aligned}\]

Die Summe dieser 18 Folgenglieder kann mittels der Summenformel für geometrische Reihen berechnet werden. \[\begin{aligned} S_{18} &=& 18.531739 \cdot \frac{1.045^{18} - 1}{1.045 - 1}\\ &=& 497.671403 \approx 497.67 \end{aligned}\]

Somit beträgt die Produktionsmenge zwischen dem 1. Quartal 1987 und dem 1. Quartal 2005 \(497.67\) Millionen Tonnen.