Woche 9

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
6	Funktionen mit zwei Variablen	1-6	6a	8.3
	Partielle Ableitungen	7-19	6b-d	8.4 / 8.5	8.4 / 8.5
	Globale Optimierung (Motivation)	20-23	6e	8.6
					Quiz

Funktionen mit zwei Variablen

6a

Partielle Ableitungen

6b

6c

6d

Globale Optimierung

6e

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen bzgl. Funktionen \(f(x_1, x_2)\) sind richtig?

• TRUEFALSE Bei der partiellen Ableitung einer Funktion \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\) werden alle Terme weggelassen, in denen \(x_2\) vorkommt.
• TRUEFALSE Die partielle Ableitung von \(f(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2\) nach \(x_2\) ist eine lineare Funktion, die nur von \(x_1\) abhängt.
• TRUEFALSE Das totale Differential approximiert die Differenz von Funktionswerten durch eine lineare Funktion mit zwei Variablen.
• TRUEFALSE Es gibt zwei partielle Ableitungen 2. Ordnung.
• TRUEFALSE Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, dann gilt immer \(f''_{12} = f''_{21}\).

Details zur Differentialrechnung bei Funktionen mit zwei Variablen werden auf den VO-Folien zu Thema 6 im Abschnitt Ableitung von Funktionen mit zwei Variablen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 8.3.

• Falsch. Bei der partiellen Ableitung einer Funktion \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\) wird \(x_2\) als Konstante behandelt, fällt aber nicht unbedingt weg.
• Richtig. Die partielle Ableitung \(f'_2(x_1, x_2) = x_1\) und ist somit eine lineare Funktion von \(x_1\).
• Richtig. Das totale Differential stellt eine lineare Funktion mit zwei Variablen dar, mit deren Hilfe man die Differenz von Funktionswerten näherungsweise berechnen kann.
• Falsch. Es gibt vier partielle Ableitungen 2. Ordnung: \(f''_{11}, f''_{12}, f''_{21}, f''_{22}\).
• Richtig. Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, kommt es nicht darauf an, in welcher Reihenfolge nach den beiden Variablen differenziert wird.

b

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \(A\) und \(B\) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion \[\begin{aligned} q = f(x_1, x_2) = 16 \cdot \ln \left (x_1 \right ) + 32 \cdot \ln \left (x_2 \right ). \end{aligned}\] Dabei bezeichnen \(x_1\) und \(x_2\) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \(A\) und \(B\) und \({q = f(x_1, x_2)}\) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen \(2.5\) Tonnen des Rohstoffs \(A\) und \(4\) Tonnen des Rohstoffs \(B\) zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs \(A\) um \(0.05\) Tonnen zu senken, während die Zulieferungen des Rohstoffes \(B\) in Zukunft um \(0.45\) Tonnen steigen werden.

Approximieren Sie die Änderung der Produktion mit Hilfe des totalen Differentials.

Wie hoch ist die exakte Veränderung der Produktion?

c

Bestimmen Sie die Hesse-Matrix der Funktion \[\begin{aligned} f(x_1, x_2) = 12 \cdot \ln \left (x_1 \right ) -36 \cdot \ln \left (x_2 \right ) \end{aligned}\] an der Stelle \((x_1, x_2) = (-1, -2)\).

Die Hesse-Matrix \(f''(-1, -2)\) hat folgende Einträge:

Die Determinante dieser Hesse-Matrix beträgt:

An dieser Stelle ist die Funktion: konvexkonkavweder konvex noch konkav