Woche 2

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
2	Ableitung einer Funktion	1-6	2a	3.1
	Differenzieren	7-15	2b-c	3.2	3.2
	Optimierung	16-29	2d-f	3.4/3.5	3.4/3.5
					Quiz

Ableitung einer Funktion

2a

Differenzieren

2b

2c

Optimierung

2d

2e

2f

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung von Funktionen \(f(x)\) sind richtig?

• TRUEFALSE Eine additive Konstante \(c\) in \(f(x) = g(x) + c\) fällt beim Differenzieren weg.
• TRUEFALSE Die Ableitung eines Produkts \(f(x) \cdot g(x)\) ist das Produkt der Ableitungen \(f'(x) \cdot g'(x)\).
• TRUEFALSE Ein konstanter Faktor \(c\) in \(f(x) = c \cdot g(x)\) fällt beim Differenzieren weg.
• TRUEFALSE Die Ableitung einer Summe \(f(x) + g(x)\) ist die Summe der Ableitungen \(f'(x) + g'(x)\).
• TRUEFALSE Die Ableitung der Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) ist nur dann \(f'(x) = n \cdot x^{n - 1}\), wenn \(n \in \mathrm{N}\) eine natürliche Potenz ist.

Details zur Ableitung von Funktionen mit einer Variablen werden auf den VO-Folien im Abschnitt Differenzieren vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 3.2.

• Richtig. Dies ergibt sich aus der Summenregel und \((c)' = 0\).
• Falsch. Die Ableitung von \(f(x) \cdot g(x)\) ist laut der Produktregel \(f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\).
• Falsch. Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren unverändert erhalten.
• Richtig. Dies ist die Summenregel beim Differenzieren.
• Falsch. Die Ableitungsregel gilt für alle Potenzen \(n \in \mathrm{R}\).

b

Welche der folgenden Aussagen zur Kurvendiskussion einer Funktion \(f(x)\) sind richtig?

• TRUEFALSE Ist \(f''(x) > 0\) für \(x \in (a, b)\), dann ist \(f(x)\) auf diesem Intervall konvex (= nach oben offen).
• TRUEFALSE Ist eine Funktion in dem Intervall \((a, b)\) konkav, so hat sie im Inneren dieses Intervalls genau ein Maximum.
• TRUEFALSE Ist eine Funktion in dem Intervall \((a, b)\) konvex, so ist sie auf diesem Intervall streng monoton wachsend.
• TRUEFALSE Wenn \(x_0\) ein (inneres) lokales Maximum oder ein Minimum von \(f(x)\) ist, dann ist \(f'(x_0) = 0\).
• TRUEFALSE Ist \(f'(x) < 0\) für \(x \in (a, b)\), dann ist \(f(x)\) auf diesem Intervall streng monoton fallend

Details zur Kurvendiskussion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Optimierung einer Funktion mit einer Variablen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 3.5.

• Richtig. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt die Wölbung einer Funktion an.
• Falsch. Dies gilt nur, wenn es in dem Intervall einen stationärer Punkt gibt, was aber nicht der Fall sein muss.
• Falsch. Konvexe Funktionen können steigend und/oder fallend sein (so wie bspw. \(x^2\)).
• Richtig. Die Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Maximum oder Minimum.
• Richtig. Das Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt an, ob eine Funktion steigt oder fällt.

c

Gegeben ist die Funktion \(f(x)= -5 x ^{2} \cdot \exp{(-4 x + 4)}\).

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch.

Welchen Wert nimmt die erste Ableitung im Punkt \(x=0.83\) an?

Welchen Wert nimmt die Wölbung im Punkt \(x=0.33\) an?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt das lokale Minimum?

Wie lautet der zugehörige Funktionswert des lokalen Minimums?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt der Wendepunkt links vom lokalen Minimum?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt der Wendepunkt rechts vom lokalen Minimum?

Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert links vom lokalen Minimum?

Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert rechts vom lokalen Minimum?

d

In einem Kino in einer Kleinstadt läuft einmal pro Tag eine Vorstellung bei folgender Kostenfunktion:

\[\begin{aligned} C(q) &=& 0.001 \cdot q^3 + 0.025 \cdot q^2 + 0.1 \cdot q + 3 \end{aligned}\]

Bei einem Preis von \(6\) GE pro Karte würden \(180\) Karten pro Vorstellung nachgefragt. Jede Erhöhung des Preises um \(3\) GE senkt die Anzahl der verkauften Karten um \(18\) Karten.

Stellen Sie zunächst die Nachfragefunktion bzw. inverse Nachfragefunktion für die Nachfrage pro Tag auf und führen Sie eine Erlösoptimierung durch. Ermitteln Sie damit folgende Größen:

Steigung der Nachfragefunktion:

Sättigungsmenge (d.h. die tägliche Nachfrage, wenn die Vorstellung gratis ist):

Nachfrage an Karten pro Woche im Erlösoptimum:

Preis im Erlösoptimum:

Maximal erzielbarer Erlös pro Woche:

Kosten pro Woche im Erlösoptimum:

Gewinn pro Woche im Erlösoptimum (Hinweis: Wird im Falle eines Verlusts negativ.):

e

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels 34 identischen Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 150 \cdot q + 20000 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Die inverse Nachfragefunktion nach Öl in GE/Mbbl lautet: \(D^{-1}(q) = -31 \cdot q + 1850\).
Wie hoch ist der maximale Gewinn?