Woche 1

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
1	Lineare Funktionen	1-9	1a-b	1.1	1.1
	Quadratische Funktionen	10-15	1c-d	1.2	1.2
	Exponentialfunktion und Logarithmus	16-34	1e-h	2.6	2.6
					Quiz

Lineare Funktionen

1a

1b

Quadratische Funktionen

1c

1d

Exponentialfunktion und Logarithmus

1e

1f

1g

1h

Quiz

a

Welche Aussagen bezüglich Exponentialfunktionen mit der Form \(f(x) = A \cdot a^x\) sind richtig?

• TRUEFALSE Eine Exponentialfunktion mit \(A > 0\) ist immer konvex.
• TRUEFALSE Der Graph geht immer durch den Punkt \((0, 1)\).
• TRUEFALSE Wenn \(A > 0\) und \(0 < a < 1\) besitzt der Graph eine negative Steigung in allen Punkten.
• TRUEFALSE Wenn \(A > 0\) nimmt die Funktion nur positive Werte an.
• TRUEFALSE Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

Details zur Exponentialfunktion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Exponentialfunktion und Logarithmus vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.6.

• Richtig. Wenn \(A > 0\) ist \(f(x) = A \cdot a^x\) nach oben offen.
• Falsch. Es gilt \(f(0) = A \cdot a^0 = A\). Es gilt \(f(0) = 1\) nur wenn \(A = 1\).
• Richtig. Wenn \(0 < a < 1\) ist \(a^x\) streng monoton fallend.
• Richtig. Für \(a > 0\) ist auch \(a^x > 0\). Und damit ist bei \(A > 0\) auch \(f(x) = A \cdot a^x > 0\).
• Falsch. Es gilt immer \(f(0) = A \cdot a^0 = A\). Die Funktion besitzt also an der Stelle \(x = 0\) einen eindeutigen Wert.

b

Welche Aussagen bezüglich Exponentialfunktionen mit der Form \(f(x) = a^x\) sind richtig?

• TRUEFALSE Wenn \(x\) um eine Einheit steigt, beträgt die relative (prozentuale) Änderung \(c = \ln(a)\).
• TRUEFALSE Wenn \(a > 0\) ist die Funktion streng monoton wachsend.
• TRUEFALSE Wenn \(x\) um eine Einheit steigt, wächst \(f(x)\) um den Faktor \(a\).
• TRUEFALSE Wenn \(a < 1\) und \(x \rightarrow \infty\), dann \(f(x) \rightarrow 0\).
• TRUEFALSE Wenn \(f(x) = 1\), dann gilt \(f(x + 1) = a\).

Details zur Exponentialfunktion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Exponentialfunktion und Logarithmus vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.6.

• Falsch. \(c\) beschreibt die nominelle Änderung. Die relative Änderung beträgt \(r = a - 1\).
• Falsch. Wenn \(a > 1\) ist die Funktion streng monoton wachsend.
• Richtig. Die relative Änderung auf einem Intervall der Länge \(1\) ist konstant. Es gilt \(f(x+1) = a^{x + 1} = a^x \cdot a = f(x) \cdot a\).
• Richtig. Wenn \(a < 1\) ist \(f(x)\) streng monoton fallend und nähert sich für \(x \rightarrow \infty\) asymptotisch der x-Achse.
• Richtig. Die relative Änderung auf einem Intervall der Länge \(1\) ist konstant. Wenn \(f(x) = 1\), dann gilt \(f(x+1) = 1 \cdot a\).

c

Ein Unternehmen rechnet für die Produktion eines neuen Produkts mit variablen Kosten pro Stück von 64 GE und Fixkosten in dem gesuchten Zeitraum von 148400 GE. Pro Monat werden 470 Stück hergestellt.

Wie teuer soll die Ware verkauft werden, wenn man nach 10 Monaten einen Gewinn von 376700 GE erwirtschaftet haben will?

d

Die Bevölkerung eines Entwicklungslandes wuchs zwischen \(1999\) und \(2019\) von \(1.1\) Millionen auf \(3.1\) Millionen. Gehen Sie von einem gleichbleibenden exponentiellen Wachstum aus und bestimmen Sie die folgenden Größen:

Jährlicher Wachstumsfaktor:

Jährliche relative Wachstumsrate (in Prozent):

Nominelle relative Wachstumsrate (in Prozent):

Bevölkerung zum Jahr \(2036\) (in Millionen):

Wie viele Jahre nach \(1999\) erreicht die Bevölkerung \(5.7\) Millionen?