7 Matrixalgebra
Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Wintersemester 2023/24 werden begleitend zum Kurs an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.
Die Matrixmultiplikation
Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) wie folgt:
\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrrr} 2 & -4 & -5 & 2 & -2 \\ -3 & -5 & -5 & -4 & -1 \\ 4 & -5 & -1 & -3 & 2 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr} 3 & -1 & -5 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & -4 & -5 \\ -4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right).\] Die Matrix \(\mathbf{C}\) sei definiert durch \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
- \(c_{32} \ge -16\)
- Die Matrix \(\mathbf{C}\) ist quadratisch
- \(c_{13} < 34\)
- \(c_{23} \le 22\)
- \(c_{12} = 22\)
Das Produkt einer \(3 \times 5\) Matrix \(\mathbf{A}\) und einer \(5 \times 3\) Matrix \(\mathbf{B}\) ergibt eine \(3 \times 3\) Matrix \(\mathbf{C}\). Die Elemente dieser Matrix \(\mathbf{C}\) sind für \(1 \leq i \leq 3\) und \(1 \leq j \leq 3\) gegeben durch \[\begin{aligned} c_{ij} &= &a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j} + a_{i4}b_{4j}+a_{i5}b_{5j}. \end{aligned}\]
Damit erhält man \[\begin{aligned} \mathbf{C} &= &\left( \begin{array}{rrr} -21 & 6 & 23 \\ -13 & 3 & 47 \\ 16 & -16 & -14 \end{array} \right). \end{aligned}\]
- Richtig. \(c_{32} = -16\)
- Richtig. \(\mathbf{C}\) ist eine \(3 \times 3\) Matrix und deshalb quadratisch
- Richtig. \(c_{13} = 23\)
- Falsch. \(c_{23} = 47 \nleq 22\)
- Falsch. \(c_{12} = 6 \neq 22\)
Bedarfsplanung
Ein Hersteller produziert zwei Produkte \(B_1\) und \(B_2\). Er benötigt dazu die Rohstoffe Eisen, Holz und Porzellan. Die Produktion erfolgt in zwei verschiedenen Produktionsstätten \(S_1\) und \(S_2\), an welchen unterschiedliche Rohstoffpreise herrschen. Der Bedarf an Rohstoffen sowie deren Preise \(S_1\) und \(S_2\) sind gegeben durch:
| Produkt | Preise in | |||
| \(B_1\) | \(B_2\) | \(S_1\) | \(S_2\) | |
| Eisen | \(3\) | \(6\) | \(9\) | \(6\) |
| Holz | \(6\) | \(2\) | \(3\) | \(8\) |
| Porzellan | \(4\) | \(4\) | \(4\) | \(7\) |
Ein Auftrag sieht vor, von \(B_1\) \(100\) Stück und von \(B_2\) \(500\) Stück zu liefern. Berechnen Sie die gesamten Produktionskosten dieses Auftrags jeweils an den Standorten \(S_1\) und \(S_2\).
Um welche Differenz sind die Produktionskosten in \(S_2\) höher sind als in \(S_1\)?
Die Bedarfsmatrix lautet: \[\begin{aligned} \mathbf{M} = \left( \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 6 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} \right) \end{aligned}\] Die Preisvektoren lauten \[\begin{aligned} \mathbf{p_1}^\top = \left( \begin{array}{rrr} 9 & 3 & 4 \end{array} \right), \,\,\,\,\,\, \mathbf{p_2}^\top = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 8 & 7 \end{array} \right) \end{aligned}\] Die Produktionskosten an den beiden Standorten ergeben sich dann wie folgt: \[\begin{aligned} \mathbf{c_1}^\top &= &\mathbf{p_1}^\top \cdot \mathbf{M} = \left( \begin{array}{rrr} 9 & 3 & 4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 6 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 61 & 76 \end{array} \right) \\ \mathbf{c_2}^\top &= &\mathbf{p_2}^\top \cdot \mathbf{M} = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 8 & 7 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 6 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 94 & 80 \end{array} \right) \end{aligned}\] Mit Hilfe des Outputvektors \[\begin{aligned} \mathbf{b} = \left( \begin{array}{r} 100 \\ 500 \end{array} \right) \end{aligned}\] erhält man schließlich die Gesamtkosten an den beiden Standorten: \[\begin{aligned} K_1 &= &\left(\mathbf{p_1}^\top \cdot \mathbf{M} \right) \cdot \mathbf{b} = \left( \begin{array}{rr} 61 & 76 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 100 \\ 500 \end{array} \right) = 44100 \\ K_2 &= &\left(\mathbf{p_2}^\top \cdot \mathbf{M} \right) \cdot \mathbf{b} = \left( \begin{array}{rr} 94 & 80 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 100 \\ 500 \end{array} \right) = 49400 \end{aligned}\] Die Differenz zwischen den Gesamtkosten der beiden Standorte beträgt: \[\begin{aligned} \Delta K = K_2 - K_1 = 49400 - 44100 = 5300.00 \end{aligned}\]
Matrixgleichungen
Finden Sie heraus, ob die drei Matrizen
\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -2 & -2 \end{array} \right).\] invertierbar sind und kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.
- \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
- \(\mathbf{C}\) ist nicht invertierbar
- \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{A}\) ist nicht invertierbar
- \(\mathbf{C}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist nicht invertierbar
- Alle drei Matrizen sind invertierbar
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist. Wir berechnen daher die Determinanten der drei Matrizen: \[\begin{aligned} \det \mathbf{A} &= &\det \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0 \\ \det \mathbf{B} &= &\det \left( \begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right) = (-2) \cdot 0 - 0 \cdot 2 = 0 \\ \det \mathbf{C} &= &\det \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -2 & -2 \end{array} \right) = 2 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-2) = -6 \end{aligned}\]
- Falsch. \(\mathbf{A}\) ist nicht invertierbar
- Falsch. \(\mathbf{C}\) ist invertierbar
- Falsch. \(\mathbf{B}\) ist nicht invertierbar, \(\mathbf{A}\) ist nicht invertierbar
- Richtig. \(\mathbf{C}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist nicht invertierbar
- Falsch. \(\mathbf{A}\) ist nicht invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist nicht invertierbar, \(\mathbf{C}\) ist invertierbar
Gegeben sei die Matrixgleichung \(\mathbf{X}\cdot \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{X} + \mathbf{C}\) mit den Matrizen \[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 0 & 4 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} 1 & -4 \\ 2 & -3 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rr} 37 & 53 \\ 35 & 31 \end{array} \right).\] Bestimmen Sie die Matrix \(\mathbf{X}\). Welchen Wert hat \(\det \mathbf{X}\)?
Die gegebene Matrixgleichung lässt sich lösen, indem zuerst die Matrizen \(\mathbf{B}\) und \(\mathbf{X}\) subtrahiert werden, dann die Matrix \(\mathbf{X}\) unter Verwendung der Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) herausgehoben und schließlich von rechts mit der Inversen von \(\mathbf{A}-\mathbf{E}\) (falls diese existiert) multipliziert wird: \[\begin{aligned} \mathbf{X} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{B} &= &\mathbf{X} + \mathbf{C} \\ \mathbf{X} \cdot \mathbf{A} - \mathbf{X} &= &\mathbf{C} - \mathbf{B} \\ \mathbf{X} \cdot \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right] &= &\mathbf{C} - \mathbf{B} \\ \mathbf{X} &= &\left[ \mathbf{C} - \mathbf{B} \right] \cdot \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]^{-1} \end{aligned}\] Für die Inverse von \(\mathbf{A} -\mathbf{E}\) benötigen wir zunächst ihre Determinante: \[\begin{aligned} \det \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right] = \det \left[\left( \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 0 & 4 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \right] = \det \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} \right) = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 9 \end{aligned}\] Damit erhalten wir die Inverse von \(\mathbf{A} -\mathbf{E}\) wie folgt: \[\begin{aligned} \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{\det \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]} \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 0 & 3 \end{array} \right) = \frac{1}{9} \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 0 & 3 \end{array} \right) \end{aligned}\] Nun können wir die Matrix \(\mathbf{X}\) berechnen: \[\begin{aligned} \mathbf{X} = \left[ \mathbf{C} - \mathbf{B} \right] \cdot \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]^{-1} &= &\left[ \left( \begin{array}{rr} 37 & 53 \\ 35 & 31 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -4 \\ 2 & -3 \end{array} \right) \right] \cdot \frac{1}{9} \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 0 & 3 \end{array} \right)\\ &= &\frac{1}{9} \cdot \left( \begin{array}{rr} 36 & 57 \\ 33 & 34 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 0 & 3 \end{array} \right) \\ &= &\frac{1}{9} \cdot \left( \begin{array}{rr} 108 & 99 \\ 99 & 36 \end{array} \right) \\ &= &\left( \begin{array}{rr} 12 & 11 \\ 11 & 4 \end{array} \right) \end{aligned}\] Für die Determinante von \(\mathbf{X}\) erhalten wir damit: \[\begin{aligned} \det \mathbf{X} &= &\det \left( \begin{array}{rr} 12 & 11 \\ 11 & 4 \end{array} \right) = 12 \cdot 4 - 11 \cdot 11 = -73. \end{aligned}\]
Input-Output-Analyse
Ein Input-Output Modell für Österreich aus dem Jahr \(1961\) besteht aus den folgenden Wirtschaftszweigen: 1. Unternehmungen, 2. öffentlicher Sektor und 3. Ausland. Der Endverbrauch wird durch die privaten Haushalten verursacht. Die Input-Output Tabelle lautet (in Milliarden Schilling):
| Lieferungen | an Sektor 1 | an Sektor 2 | an Sektor 3 | an Endverbrauch |
|---|---|---|---|---|
| von Sektor 1 | \(120\) | \(170\) | \(10\) | \(550\) |
| von Sektor 2 | \(90\) | \(180\) | \(60\) | \(650\) |
| von Sektor 3 | \(50\) | \(200\) | \(80\) | \(700\) |
Die Lieferungen an die Endverbraucher werden folgendermaßen angepasst:
Lieferungen aus Sektor 1 werden um \(262.5\) Mrd. verringert.
Lieferungen aus Sektor 3 werden um \(274\) Mrd. verringert.
Wie hoch ist der Output von Sektor 3 nach der Anpassung?
Hinweise: Rechnen Sie mit 4 Nachkommastellen und runden Sie die gesuchten Ergebnisse erst am Ende auf 2 Nachkommastellen. Außerdem benötigen Sie eine der beiden folgenden inversen Matrizen: \[\begin{aligned} (\mathbf{E - A})^{-1} & = & \left( \begin{array}{rrr} 0.8588 & -0.1735 & -0.0097 \\ -0.1059 & 0.8163 & -0.0583 \\ -0.0588 & -0.2041 & 0.9223 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.1987 & 0.2621 & 0.0292 \\ 0.1636 & 1.2805 & 0.0827 \\ 0.1126 & 0.3001 & 1.1044 \end{array} \right) \\ (\mathbf{E - A})^{-1} & = & \left( \begin{array}{rrr} 0.8588 & -0.2000 & -0.0118 \\ -0.0918 & 0.8163 & -0.0612 \\ -0.0485 & -0.1942 & 0.9223 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.1987 & 0.3021 & 0.0354 \\ 0.1418 & 1.2804 & 0.0868 \\ 0.0929 & 0.2855 & 1.1044 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Der Outputvektor (Zeilensummen) lautet: \[\begin{aligned} \mathbf{x} = \left( \begin{array}{r} 850 \\ 980 \\ 1030 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Die Technologiematrix berechnet man, indem die ersten drei Spalten der Tabelle durch die Zeilensummen der Tabelle diviert werden: \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{120}{850} & \frac{170}{980} & \frac{10}{1030} \\ \frac{90}{850} & \frac{180}{980} & \frac{60}{1030} \\ \frac{50}{850} & \frac{200}{980} & \frac{80}{1030} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0.1412 & 0.1735 & 0.0097 \\ 0.1059 & 0.1837 & 0.0583 \\ 0.0588 & 0.2041 & 0.0777 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Die Input-Output-Gleichung hat somit folgende Form: \[\begin{aligned} \mathbf{x} &=& \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{b} \\ \left( \begin{array}{r} 850 \\ 980 \\ 1030 \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{rrr} 0.1412 & 0.1735 & 0.0097 \\ 0.1059 & 0.1837 & 0.0583 \\ 0.0588 & 0.2041 & 0.0777 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 850 \\ 980 \\ 1030 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 550 \\ 650 \\ 700 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Die Matrix \(\mathbf{E} - \mathbf{A}\) lautet: \[\begin{aligned} \mathbf{E} - \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0.8588 & -0.1735 & -0.0097 \\ -0.1059 & 0.8163 & -0.0583 \\ -0.0588 & -0.2041 & 0.9223 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Für die inverse Matrix \((\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1}\) gilt: \[\begin{aligned} (\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.1987 & 0.2621 & 0.0292 \\ 0.1636 & 1.2805 & 0.0827 \\ 0.1126 & 0.3001 & 1.1044 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Nach der Anpassung des Endnachfragevektors \(\mathbf{b}\) lautet dieser: \[\begin{aligned} \mathbf{b} = \left( \begin{array}{r} 287.5 \\ 650.0 \\ 426.0 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Der Output der drei Sektoren müsste nach der Anpassung also \[\begin{aligned}
\mathbf{x} &=& (\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1} \cdot \mathbf{b} = \\
&=& \left( \begin{array}{rrr} 1.1987 & 0.2621 & 0.0292 \\ 0.1636 & 1.2805 & 0.0827 \\ 0.1126 & 0.3001 & 1.1044 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 287.5 \\ 650.0 \\ 426.0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 527.4305 \\ 914.5902 \\ 697.9119 \end{array} \right)
\end{aligned}\] betragen.
Der Output von Sektor 3 nach der Anpassung beträgt \(697.91\) Einheiten.
Ein Automobilkonzern besteht aus drei Unternehmensbereichen: der Produktion von PKWs (P), der Produktion von Nutzfahrzeugen (N) und einem Zentrum für Forschung und Entwicklung (F + E). Die folgende Tabelle stellt die Ströme der Lieferungen und Leistungen innerhalb des Unternehmens sowie die Umsätze durch den Verkauf an Endverbraucher der drei Bereiche dar (alle Angaben in Mio. GE):
| Lieferungen von | an P | an N | an F+E | Umsatz | Kosten |
|---|---|---|---|---|---|
| P | \(170\) | \(40\) | \(90\) | \(300\) | \(432\) |
| N | \(50\) | \(160\) | \(100\) | \(240\) | \(216\) |
| F+E | \(120\) | \(60\) | \(80\) | \(140\) | \(119\) |
Die Sparte PKWs erwirtschaftet momentan Verluste von \(132\) Mio. GE. Um wieviel müsste der Gesamtoutput des Unternehmens absolut steigen, damit der Sektor von PKWs wenigstens kostendeckend ist, wenn gleichzeitig durch Rationalisierungsmaßnahmen die Kosten in allen Sparten auf unverändertem Niveau gehalten werden können?
Hinweise: Rechnen Sie mit 4 Nachkommastellen und runden Sie die gesuchten Ergebnisse erst am Ende auf 2 Nachkommastellen. Außerdem benötigen Sie eine der beiden folgenden inversen Matrizen: \[\begin{aligned} \mathbf{(E - A)}^{-1} &=& \left( \begin{array}{rrr} 0.7167 & -0.0727 & -0.2250 \\ -0.0833 & 0.7091 & -0.2500 \\ -0.2000 & -0.1091 & 0.8000 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.5672 & 0.2401 & 0.5158 \\ 0.3386 & 1.5334 & 0.5744 \\ 0.4380 & 0.2691 & 1.4573 \end{array} \right) \\ \mathbf{(E - A)}^{-1} &=& \left( \begin{array}{rrr} 0.7167 & -0.0667 & -0.1500 \\ -0.0909 & 0.7091 & -0.1818 \\ -0.3000 & -0.1500 & 0.8000 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.5672 & 0.2201 & 0.3439 \\ 0.3694 & 1.5334 & 0.4177 \\ 0.6570 & 0.3700 & 1.4573 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Die Grundgleichung der Input-Output-Analyse mit Technologiematrix \(\mathbf{A}\), Outputvektor \(\mathbf{x}\) und Endverbrauchsvektor \(\mathbf{b}\) ist: \(\mathbf{x} = \mathbf{A} \mathbf{x} + \mathbf{b}\).
Der aktuelle Outputvektor \(\mathbf{x}\) ergibt sich aus den Zeilensummen der obigen Tabelle: \[\begin{aligned} \mathbf{x} = \left( \begin{array}{r} 600 \\ 550 \\ 400 \end{array} \right) \end{aligned}\] Der momentane Gesamtoutput beträgt daher \(1550\) GE.
Damit ergibt sich die Technologiematrix wie folgt: \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{170}{600} & \frac{40}{550} & \frac{90}{400} \smallskip \smallskip \\ \frac{50}{600} & \frac{160}{550} & \frac{100}{400} \smallskip \smallskip \\ \frac{120}{600} & \frac{60}{550} & \frac{80}{400} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0.2833 & 0.0727 & 0.2250 \\ 0.0833 & 0.2909 & 0.2500 \\ 0.2000 & 0.1091 & 0.2000 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Für das statische Gleichgewicht \(\mathbf{x} = (\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{b}\) wird die Inverse von \(\mathbf{E}-\mathbf{A}\) benötigt: \[\begin{aligned} \left(\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1} &= &\left(\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{rrr} 0.2833 & 0.0727 & 0.2250 \\ 0.0833 & 0.2909 & 0.2500 \\ 0.2000 & 0.1091 & 0.2000 \end{array} \right)\right)^{-1} \\ &= &\left( \begin{array}{rrr} 0.7167 & -0.0727 & -0.2250 \\ -0.0833 & 0.7091 & -0.2500 \\ -0.2000 & -0.1091 & 0.8000 \end{array} \right)^{-1} \\ &= &\left( \begin{array}{rrr} 1.5672 & 0.2401 & 0.5158 \\ 0.3386 & 1.5334 & 0.5744 \\ 0.4380 & 0.2691 & 1.4573 \end{array} \right) \end{aligned}\]
Bei einer kostendeckenden Produktion in der Sparte PKWs ergibt sich der neue Endverbrauchsvektor: \[\begin{aligned} \mathbf{b}_1 = \left( \begin{array}{r} 432 \\ 240 \\ 140 \end{array} \right) \end{aligned}\] Damit lässt sich der neue Outputvektor wie folgt berechnen: \[\begin{aligned} \left(\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1} \cdot \mathbf{b}_1 = \left( \begin{array}{rrr} 1.5672 & 0.2401 & 0.5158 \\ 0.3386 & 1.5334 & 0.5744 \\ 0.4380 & 0.2691 & 1.4573 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 432 \\ 240 \\ 140 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 806.8664 \\ 594.7072 \\ 457.8220 \end{array} \right) \end{aligned}\] Der Gesamtoutput \(\text{G}_1\) bei kostendeckender Produktion in der Sparte PKWs beträgt daher \[\begin{aligned} \text{G}_1 = 806.8664 + 594.7072 + 457.822 = 1859.3956 \approx 1859.40 \end{aligned}\]
Der Gesamtoutput des Unternehmens muss daher absolut um \(1859.40 - 1550.00 = 309.40\) Mio. GE steigen.