8 Analysis von Funktionen mit zwei Variablen

Baustelle

Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Wintersemester 2023/24 werden begleitend zum Kurs an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.

Die erste Ableitung

a

Bestimmen Sie die partielle Ableitung \(f'_1(x_1,x_2)\) der Funktion \[\begin{aligned} f(x_1, x_2) = 96 x_1^{0.84} x_2^{0.16} \end{aligned}\] an der Stelle \(\mathbf{a} = \left( \begin{array}{c} 4.1 \\ 0.5 \end{array} \right)\).

1. Schritt: Ermittlung der partiellen Ableitung \(f'_1(x_1,x_2)\) \[\begin{aligned} f'_1(x_1,x_2) = 96 \cdot 0.84 \cdot x_1^{-0.16} x_2^{0.16} \end{aligned}\] 2. Schritt: Einsetzen von \(\mathbf{a} = \left( \begin{array}{c} 4.1 \\ 0.5 \end{array} \right)\) in die partielle Ableitung \(f'_1(x_1,x_2)\) \[\begin{aligned} f'_1(4.1,0.5) = 96 \cdot 0.84 \cdot 4.1^{-0.16} 0.5^{0.16} = 57.589101 \approx 57.59 \end{aligned}\]

b

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \(A\) und \(B\) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion \[\begin{aligned} q = f(x_1, x_2) = 6 x_1^{0.75} x_2^{0.12}. \end{aligned}\] Dabei bezeichnen \(x_1\) und \(x_2\) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \(A\) und \(B\) und \({q = f(x_1, x_2)}\) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen \(18\) Tonnen des Rohstoffs \(A\) und \(2\) Tonnen des Rohstoffs \(B\) zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs \(A\) um \(0.05\) Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes \(B\) in Zukunft um \(0.05\) Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

1. Schritt: Ermittlung der partiellen Ableitungen \(f'_1(x_1,x_2)\) und \(f'_2(x_1,x_2)\) \[\begin{aligned} f'_1(x_1,x_2) = 6\cdot0.75x_1^{-0.25}x_2^{0.12}\\ f'_2(x_1,x_2) = 6\cdot0.12x_1^{0.75}x_2^{-0.88} \end{aligned}\]

2.Schritt: Einsetzen der verfügbaren Mengen \(x_1\), \(x_2\) von \(A\) und \(B\) in die partiellen Ableitungen \(f'_1(x_1,x_2)\) und \(f'_2(x_1,x_2)\) \[\begin{aligned} f'_1(18,2) &=& 6\cdot0.75\cdot18^{-0.25}\cdot2^{0.12} = 2.374204 \\ f'_2(18,2) &=& 6\cdot0.12\cdot18^{0.75}\cdot2^{-0.88} = 3.418853 \end{aligned}\]

3. Schritt: Berechnung der momentanen marginalen Änderung der Produktion durch das totale Differential \[\begin{aligned} \text{d} q = \text{d} f(x_1, x_2) &=& \frac{\partial f}{\partial x_1} \text{d} x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \text{d} x_2 \\ &=& 2.374204 \cdot 0.05 + 3.418853 \cdot (- 0.05) \\ & = & -0.052232 \approx -0.05 \end{aligned}\]

c

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \(A\) und \(B\) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion \[\begin{aligned} q = f(x_1, x_2) = e^{0.15 x_1 + 0.25 x_2 + 0.5 x_1 x_2}. \end{aligned}\] Dabei bezeichnen \(x_1\) und \(x_2\) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \(A\) und \(B\) und \({q = f(x_1, x_2)}\) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen \(1.4\) Tonnen des Rohstoffs \(A\) und \(1.7\) Tonnen des Rohstoffs \(B\) zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs \(A\) um \(0.2\) Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes \(B\) in Zukunft um \(0.3\) Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

1. Schritt: Ermittlung der partiellen Ableitungen \(f'_1(x_1,x_2)\) und \(f'_2(x_1,x_2)\) \[\begin{aligned} f'_1(x_1, x_2) &=& e^{0.15 x_1 + 0.25 x_2 + 0.5 x_1 x_2} \cdot \left( 0.15 + 0.5 x_2 \right) \\ f'_2(x_1, x_2) &=& e^{0.15 x_1 + 0.25 x_2 + 0.5 x_1 x_2} \cdot \left( 0.25 + 0.5 x_1 \right) \end{aligned}\]

2.Schritt: Einsetzen der verfügbaren Mengen \(x_1\), \(x_2\) von \(A\) und \(B\) in die partiellen Ableitungen \(f'_1(x_1,x_2)\) und \(f'_2(x_1,x_2)\) \[\begin{aligned} f'_1(1.4,1.7) &=& e^{0.15 \cdot 1.4 + 0.25 \cdot 1.7 + 0.5 \cdot 1.4 \cdot 1.7} \cdot \left( 0.15 + 0.5 \cdot 1.7 \right) = 6.202795 \\ f'_2(1.4,1.7) &=& e^{0.15 \cdot 1.4 + 0.25 \cdot 1.7 + 0.5 \cdot 1.4 \cdot 1.7} \cdot \left( 0.25 + 0.5 \cdot 1.4 \right) = 5.892655 \end{aligned}\]

3. Schritt: Berechnung der momentanen marginalen Änderung der Produktion durch das totale Differential \[\begin{aligned} \text{d} q = \text{d} f(x_1, x_2) &=& \frac{\partial f}{\partial x_1} \text{d} x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \text{d} x_2 \\ &=& 6.202795 \cdot 0.2 + 5.892655 \cdot (- 0.3) \\ & = & -0.527238 \approx -0.53 \end{aligned}\]

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

a

Bestimmen Sie die Hesse-Matrix \(\mathbf{A}\) der Funktion \[\begin{aligned} f(x_1, x_2) = 88 x_1^{0.49} x_2^{0.41} \end{aligned}\] an der Stelle \(\left( \begin{array}{c} 4.5 \\ 3.1 \end{array} \right)\).

Welchen Wert hat \(\det \mathbf{A}\)?

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind \[\begin{aligned} f'_1(x_1, x_2) & = & 43.12 x_1^{-0.51} x_2^{0.41},\\ f'_2(x_1, x_2) & = & 36.08 x_1^{0.49} x_2^{-0.59}. \end{aligned}\] Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind \[\begin{aligned} f''_{11}(x_1, x_2) & = & -21.9912 x_1^{-1.51} x_2^{0.41}\\ f''_{12}(x_1, x_2) & = & 17.6792 x_1^{-0.51} x_2^{-0.59}\\ f''_{21}(x_1, x_2) & = & 17.6792 x_1^{-0.51} x_2^{-0.59}\\ f''_{22}(x_1, x_2) & = & -21.2872 x_1^{0.49} x_2^{-1.59} \end{aligned}\] Einsetzen von \(\left( \begin{array}{c} 4.5 \\ 3.1 \end{array} \right)\) in die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung: \[\begin{aligned} f''_{11}(4.5, 3.1) & = & -3.608746\\ f''_{12}(4.5, 3.1) & = & 4.211345\\ f''_{21}(4.5, 3.1) & = & 4.211345\\ f''_{22}(4.5, 3.1) & = & -7.360843 \end{aligned}\] Die Hesse-Matrix \(\mathbf{A}\) der gegebenen Funktion \(f(x_1, x_2) = 88 x_1^{0.49} x_2^{0.41}\) an der Stelle \(\left( \begin{array}{c} 4.5 \\ 3.1 \end{array} \right)\) lautet damit \[\begin{aligned} \mathbf{A} = f''(4.5, 3.1) & = & \left( \begin{array}{rr} -3.608746 & 4.211345\\ 4.211345 & -7.360843 \end{array} \right). \end{aligned}\] Die Determinante von \(\mathbf{A}\) ist dann \[\begin{aligned} \det \mathbf{A} & = & -3.608746 \cdot (-7.360843) - 4.211345 \cdot 4.211345 \\ & = & 8.827988 \approx 8.83 \end{aligned}\]

b

Bestimmen Sie die Hesse-Matrix der Funktion \[\begin{aligned} f(x_1, x_2) = e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2} \end{aligned}\] an der Stelle \((x_1, x_2) = (-0.43, 0.51)\). Welchen Wert hat der Eintrag rechts oben?

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind \[\begin{aligned} f'_1(x_1, x_2) &=& (5 -5 x_2) \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2}, \\ f'_2(x_1, x_2) &=& (-3 -5 x_1) \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2}. \end{aligned}\] Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind \[\begin{aligned} f''_{11}(x_1, x_2) &=& (5 -5 x_2)^2 \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2},\\ f''_{12}(x_1, x_2) &=& (-5 + (5 -5 x_2) \cdot (-3 -5 x_1)) \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2}\\ &=& (-20 -25 x_1 + 15 x_2 + 25 x_1 x_2) \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2},\\ f''_{21}(x_1, x_2) &=& (-5 + (-3 -5 x_1) \cdot (5 -5 x_2)) \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2}\\ &=& (-20 -25 x_1 + 15 x_2 + 25 x_1 x_2) \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2},\\ f''_{22}(x_1, x_2) &=& (-3 -5 x_1)^2 \cdot e^{5 x_1 -3 x_2 -5 x_1 x_2}. \end{aligned}\]

Somit gilt \[\begin{aligned} f''(-0.43, 0.51) = \left( \begin{array}{rr} 0.453244 & -0.534794 \\ -0.534794 & 0.054555 \end{array} \right). \end{aligned}\] Der Eintrag der Hesse-Matrix rechts oben hat damit den Wert: \(f''_{12}(-0.43, 0.51) = -0.53\)

Globale Optimierung

a

Die Funktion \[\begin{aligned} f(x_1,x_2)= -3x_1^2 + 2x_1 x_2 - 5x_2^2 + 18x_1 + 50x_2 + 17 \end{aligned}\] besitzt ein globales Optimum an der Stelle \(\mathbf{a}\). Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(\mathbf{a}\)?

Wir bilden zunächst die ersten partiellen Ableitungen und setzen diese Null: \[\begin{aligned} f'_1 &=& -6x_1 + 2x_2 + 18 = 0 \\ f'_2 &=& 2x_1 - 10x_2 + 50 = 0 \end{aligned}\] Die Lösung dieses Gleichungssystems \[\begin{aligned} x_1 &=& 5 \\ x_2 &=& 6 \end{aligned}\] liefert den kritischen Punkt \[\begin{aligned} \mathbf{a} = (5, 6)^\top. \end{aligned}\]

Im globalen Optimum hat die Funktion den Wert \[\begin{aligned} f(5,6) &=& -3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6 - 5 \cdot 6^2 + 18 \cdot 5 + 50 \cdot 6 + 17 \\ &=& 212 \end{aligned}\]

Der Funktionswert im globalen Optimum \(\mathbf{a} = (5, 6)^\top\) beträgt \(212.00\).

b

Die Funktion \(f(x_1, x_2)\) ist in Abhängigkeit von den zwei Parametern \(b\) und \(d\) definiert als: \[\begin{aligned} f(x_1,x_2)= 3x_1^2 - 2x_1 x_2 + 5x_2^2 + b x_1 + d x_2 + 11 \end{aligned}\] Bei geeigneter Wahl von \(b\) und \(d\) besitzt die Funktion ein globales Optimum an der Stelle \(\mathbf{x} = \left(\begin{array}{cc} 7 & -3 \end{array} \right) ^\top\).
Welchen Wert besitzt die Funktion in diesem Optimum?

Wir bilden zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung und setzen diese Null: \[\begin{aligned} f'_1 &=& 6x_1 - 2x_2 + b \stackrel{!}{=} 0 \\ f'_2 &=& -2x_1 + 10x_2 + d \stackrel{!}{=} 0 \end{aligned}\] Nun können wir \(x_1 = 7\) und \(x_2 = -3\) in das Gleichungssystem einsetzen und die beiden Parameter freistellen: \[\begin{aligned} f'_1 &=& 6\cdot 7 - 2 \cdot (-3) + b \stackrel{!}{=} 0 \; \Rightarrow \; b = -48\\ f'_2 &=& -2 \cdot 7 + 10 \cdot (-3) + d \stackrel{!}{=} 0 \; \Rightarrow \; d = 44 \end{aligned}\] Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein globales Optimum handelt, muss die Bedingung zweiter Ordnung erfüllt sein:
Dazu benötigen wir die Hesse-Matrix: \[\begin{aligned} f''(x_1, x_2) = \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} 6 & -2 \\ -2 & 10 \end{array} \right) \end{aligned}\] Da \(a_{11} \geq 0\) und \(\det \mathbf{A} = 56.00 \geq 0\) handelt es sich um ein Minimum.

Damit die Funktion \(f(x_1, x_2)\) an der Stelle \(\mathbf{x} = \left(\begin{array}{cc} 7 & -3 \end{array} \right)^\top\) ein globales Optimum besitzt, müssen die Parameter \(b\) und \(d\) die Werte \(-48\) und \(44\) annehmen.

Im globalen Optimum hat die Funktion den Wert \[\begin{aligned} f(7,-3) &=& 3 \cdot 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot (-3) + 5 \cdot (-3)^2 - 48 \cdot 7 + 44 \cdot (-3) + 11 \\ &=& -223 \end{aligned}\]

Der Funktionswert im globalen Optimum \(f (7, -3)\) beträgt \(-223.00\).

c

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter \(A\) und \(B\) zu den (veränderbaren) Preisen \(p_1\) (Gut \(A\)) und \(p_2\) (Gut \(B\)) an. Die Nachfrage nach diesen beiden Gütern wird durch die beiden Nachfragefunktionen \[\begin{aligned} q_1(p_1,p_2) &=& 99 -32 p_{1}+ 13 p_{2}, \\ q_2(p_1,p_2) &=& 52+ 2 p_{1} -8 p_{2} \end{aligned}\] bestimmt, wobei \(q_1\) die Nachfrage nach Gut \(A\) und \(q_2\) die Nachfrage nach Gut \(B\) beschreibt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen pro Stück \(4\) GE (Gut \(A\)) und \(3\) GE (Gut \(B\)). Es gibt ein eindeutig bestimmtes Paar \((p_1, p_2)\) von Preisen für die beiden Güter \(A\) und \(B\), sodass das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt.

Wie groß ist die Verkaufsmenge \(q_{2}(p_1,p_2)\), wenn die Preise \(p_1\) und \(p_2\) so gewählt werden, dass maximaler Gewinn erzielt wird?

Für den erzielten Gewinn \(\pi\) in Abhängigkeit von den gewählten Preisen \(p_1\) und \(p_2\) erhalten wir \[\begin{aligned} \pi(p_1,p_2) &=& p_1 \cdot q_1(p_1,p_2) + p_2 \cdot q_2(p_1,p_2) - 4 \cdot q_1(p_1,p_2) - 3 \cdot q_2(p_1,p_2) = \\ &=& -552+ 221 p_{1}+ 24 p_{2} -32 p_{1}^{2} -8 p_{2}^{2}+ 15 p_{1} p_{2}. \end{aligned}\] Die partiellen Ableitungen von \(\pi\) sind \[\begin{aligned} \pi'_1(p_1,p_2) &=& 221 -64 p_{1}+ 15 p_{2}, \\ \pi'_2(p_1,p_2) &=& 24+ 15 p_{1} -16 p_{2}, \end{aligned}\] die Hesse-Matrix von \(\pi\) ist \[\begin{aligned} \pi''(p_1,p_2) = \left( \begin{array}{rr} -64 & 15 \\ 15 & -16 \end{array} \right). \end{aligned}\] Daraus erkennen wir, dass die Funktion \(\pi\) tatsächlich genau einen globalen Maximierer besitzt, denn das (lineare) Gleichungssystem \[\begin{aligned} \pi'_1(p_1,p_2) &=& 0 \\ \pi'_2(p_1,p_2) &=& 0 \end{aligned}\] besitzt genau eine Lösung, nämlich \[\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{r} 4.876095 \\ 6.071339 \end{array} \right). \end{aligned}\] Es gibt also zunächst einmal genau einen stationären Punkt, weiters ist die Hesse-Matrix von \(\pi\) in jedem Punkt negativ semidefinit, da gilt: \[\begin{aligned} a_{11} &=& -64 < 0 \\ \det(\pi'') &=& (-64 \cdot (-16)) - (15 \cdot 15) = 799 \geq 0 \end{aligned}\] Die Funktion \(\pi\) ist also konkav, weshalb dieser stationäre Punkt bereits ein globaler Maximierer ist. Für die optimale Preiskombination \[\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{r} 4.876095 \\ 6.071339 \end{array} \right) \end{aligned}\] erhalten wir nun \[\begin{aligned} q_{2}(p_1,p_2) &=& 52+ 2 p_{1} -8 p_{2} = \\ &\approx& 13.18. \end{aligned}\] Bei einer Verkaufsmenge von \(q_{2}(p_1, p_2) = 13.18\) wird maximaler Gewinn erzielt.

Kettenregel und implizite Funktionen

a

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \(A\) und \(B\) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion \[\begin{aligned} q = F(x_1, x_2) = 6 x_1^{0.78} x_2^{0.08}. \end{aligned}\] Dabei bezeichnen \(x_1\) und \(x_2\) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \(A\) und \(B\) und \({q = F(x_1, x_2)}\) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination \((x_1, x_2) = (8, 3)\).

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor \(B\) bei Erhöhung von Faktor \(A\) um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von \(F(8, 3)\) Mengeneinheiten.

Der Hersteller möchte die Faktorkombination so ändern, dass der Output gleich bleibt. Der Produktionsfaktor \(A\) wird um eine marginale Einheit erhöht. Damit wird \(x_1\) als Menge des Produktionsfaktors \(A\) vom Hersteller festgelegt und er muss die Menge \(x_2\) so berechnen, dass der Output unverändert bleibt. Das heißt wir benötigen folgende Gleichung \[\begin{aligned} f'(x_1) = - \frac{F'_1(x_1, x_2)}{F'_2(x_1, x_2)}. \end{aligned}\] Die partiellen Ableitungen \(F'_1(x_1,x_2)\) und \(F'_2(x_1,x_2)\) sind \[\begin{aligned} F'_1(x_1,x_2) = 6\cdot0.78x_1^{-0.22}x_2^{0.08}\\ F'_2(x_1,x_2) = 6\cdot0.08x_1^{0.78}x_2^{-0.92}. \end{aligned}\] Daraus folgt \[\begin{aligned} f'(8) & = & - \frac{F'_1(8, 3)}{F'_2(8, 3)} \\ & = & - \frac{6 \cdot 0.78 \cdot 8^{0.78 - 1} \cdot 3^{0.08}}{6 \cdot 0.08 \cdot 8^{0.78} \cdot 3^{0.08 - 1}} \\ & = & -3.65625. \end{aligned}\] Wird der Produktionsfaktor \(A\) um eine marginale Einheit erhöht, dann kann der Produktionsfaktor \(B\) um \(-3.66\) verändert werden unter Beibehaltung des Produktionsniveaus.

b

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \(A\) und \(B\) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion \[\begin{aligned} q = F(x_1, x_2) = e^{0.4 x_1 + 0.1 x_2 + 0.2 x_1 x_2}. \end{aligned}\] Dabei bezeichnen \(x_1\) und \(x_2\) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \(A\) und \(B\) und \({q = F(x_1, x_2)}\) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination \((x_1, x_2) = (1.8, 1.5)\).

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor \(A\) bei Erhöhung von Faktor \(B\) um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von \(F(1.8, 1.5)\) Mengeneinheiten.

Der Hersteller möchte die Faktorkombination so ändern, dass der Output gleich bleibt. Der Produktionsfaktor \(B\) wird um eine marginale Einheit erhöht. Damit wird \(x_2\) als Menge des Produktionsfaktors \(B\) vom Hersteller festgelegt und er muss die Menge \(x_1\) so berechnen, dass der Output unverändert bleibt. Das heißt wir benötigen folgende Gleichung \[\begin{aligned} f'(x_2) = - \frac{F'_2(x_1, x_2)}{F'_1(x_1, x_2)}. \end{aligned}\] Die partiellen Ableitungen \(F'_1(x_1,x_2)\) und \(F'_2(x_1,x_2)\) sind \[\begin{aligned} F'_1(x_1, x_2) &=& e^{0.4 x_1 + 0.1 x_2 + 0.2 x_1 x_2} \cdot \left( 0.4 + 0.2 x_2 \right) \\ F'_2(x_1, x_2) &=& e^{0.4 x_1 + 0.1 x_2 + 0.2 x_1 x_2} \cdot \left( 0.1 + 0.2 x_1 \right). \end{aligned}\] Daraus folgt \[\begin{aligned} f'(1.5) & = & - \frac{F'_2(1.8, 1.5)}{F'_1(1.8, 1.5)} \\ & = & - \frac{e^{0.4 \cdot 1.8 + 0.1 \cdot 1.5 + 0.2 \cdot 1.8 \cdot 1.5} \cdot \left( 0.1 + 0.2 \cdot 1.8 \right)}{e^{0.4 \cdot 1.8 + 0.1 \cdot 1.5 + 0.2 \cdot 1.8 \cdot 1.5} \cdot \left( 0.4 + 0.2 \cdot 1.5 \right)} \\ & = & -0.657143. \end{aligned}\] Wird der Produktionsfaktor \(B\) um eine marginale Einheit erhöht, dann kann der Produktionsfaktor \(A\) um \(-0.66\) verändert werden unter Beibehaltung des Produktionsniveaus.

Optimierung unter Nebenbedingungen

a

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf \[F(K,L)= K L^{}.\] Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \(p_K=32\) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \(p_L=33\). Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von \(120\) ME produziert werden soll.

Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

1. Schritt: Problemformulierung. \[\begin{aligned} \min_{K,L} C(K,L) &=& p_KK + p_LL\\ &=& 32K + 33L\\ \mbox{unter der NB:} && F(K,L) = Q \\ && K L^{} = 120 \end{aligned}\]

2. Schritt: Die Lagrangefunktion. \[\begin{aligned} {f}(K,L,\lambda) &=& C(K,L)-\lambda (F(K,L) - Q) \\ &=& 32K + 33L - \lambda(K L^{} -120) \end{aligned}\]

3. Schritt: Die Bedingungen 1. Ordnung. \[\begin{aligned} \frac{\partial { {f}}}{\partial K} & = & 32 - \lambda L^{} = 0\\ \frac{\partial { {f}}}{\partial L} & = & 33 - {1} \lambda K L^{1-1} = 0 \\ \frac{\partial { {f}}}{\partial \lambda} & = & -(K L^{}-120) = 0 \end{aligned}\]

4. Schritt: Auflösen des Gleichungssystems nach \(K\), \(L\) und \(\lambda\).

Gleichungen (1) und (2) nach \(\lambda\) aufgelöst und gleichgesetzt ergibt: \[\begin{aligned} \frac{32}{L^{}} & = & \frac{33}{{1} K L^{1-1}}\\ K & = & \frac{33}{1 \cdot 32} \cdot L^{1 - (1 -1)}\\ K & = & \frac{33}{32} \cdot L \end{aligned}\]

Einsetzen in die dritte Bedingung 1. Ordnung (Nebenbedingung): \[\begin{aligned} K L^{} & = & 120\\ \left(\frac{33}{32}\cdot L \right) \cdot L^{} & = & 120\\ \frac{33}{32} \cdot L^{2} & = & 120\\ L & = & \left(\frac{32}{33} \cdot 120\right)^{\frac{1}{2}} = 10.787198~\approx~10.79\\ K & = & \frac{33}{32} \cdot L = 11.124298~\approx~11.12 \end{aligned}\]

Bei gegebener Produktionsfunktion ist die Menge des Inputfaktors Kapital \(K=11.12\).

b

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute \[\begin{aligned} F(x_1,x_2) = 20 x_1^{2} + 75 x_1 x_2 + 13 x_2^{2} \end{aligned}\] Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Preisen \(78\) für den ersten Faktor und \(74\) für den zweiten Faktor, wenn ein Produktionsniveau von \(6804\) erzielt werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \(x_1\)?

Die Lagrange-Funktion lautet \[\begin{aligned} L(x_1, x_2, \lambda) = 78 x_1 + 74 x_2 - \lambda (20 x_1^{2} + 75 x_1 x_2 + 13 x_2^{2} - 6804) \end{aligned}\] Die partiellen Ableitungen setzen wir gleich Null: \[\begin{aligned} L'_1 = 78 - \lambda (40 x_1 + 75 x_2) = 0 \\ L'_2 = 74 - \lambda (75 x_1 + 26 x_2) = 0 \\ L'_3 = -(20 x_1^{2} + 75 x_1 x_2 + 13 x_2^{2} - 6804) = 0 \\ \end{aligned}\] Die ersten beiden Gleichungen lösen wir nach \(x_1\) bzw. \(x_2\) auf \[\begin{aligned} 40x_1 + 75x_2 & = & \frac{78}{\lambda}\\ 75x_1 + 26x_2 & = & \frac{74}{\lambda} \end{aligned}\] Wir berechnen 75 \(\cdot\) \((1)\) - 40 \(\cdot\) \((2)\) um \(x_1\) und \(x_2\) in Abhängigkeit von \(\lambda\) auszudrücken \[\begin{aligned} 75 \cdot (1) : & 3000x_1 + 5625x_2 & = \frac{5850}{\lambda} \\ 40 \cdot (2) : & 3000x_1 + 1040x_2 & = \frac{2960}{\lambda} \end{aligned}\] Daraus folgt \[\begin{aligned} 4585 x_2 = \frac{2890}{\lambda} & \Longrightarrow & x_2 = \frac{2890}{4585\lambda} = \frac{0.6303162}{\lambda} \end{aligned}\] Ergebnis für \(x_2\) einsetzen in \((1)\) ergibt: \[\begin{aligned} 40x_1 + 75 \cdot \frac{2890}{4585\lambda} = \frac{78}{\lambda} & \Longrightarrow & x_1 = \frac{140880}{{183400\lambda}} = \frac{0.768157}{\lambda} \\ \end{aligned}\] Einsetzen der Zwischenergebnisse von \(x_1\) = \(\frac{0.768157}{\lambda}\) und \(x_2\) = \(\frac{0.6303162}{\lambda}\) in die dritte Gleichung (Nebenbedingung): \[\begin{aligned} 20 x_1^{2} + 75 x_1 x_2 + 13 x_2^{2} & = & 6804\\ 20 \cdot \frac{0.768157^2}{\lambda^2} + 75 \cdot \frac{0.768157 \cdot 0.6303162}{\lambda^2} + 13 \cdot \frac{0.6303162^2}{\lambda^2} & = & 6804 \Longrightarrow \lambda = \sqrt{\frac{53.279826}{6804}} = 0.088491 \end{aligned}\] Das ergibt die optimale Faktorkombination \[\begin{aligned} x_1 = \frac{0.768157}{0.088491} = 8.68\\ x_2 = \frac{0.6303162}{0.088491} = 7.12 \end{aligned}\]

Im Optimum beträgt der Faktoreinsatz von \(x_1\) damit \(8.68\).

c

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet \(U(x_1,x_2)=x_1^{0.75}x_2^{0.5}\). Gegeben sind die Preise der beiden Güter \(p_1=0.5\) und \(p_2=1\) sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von \(I=650\). Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

Wie hoch ist die Menge \(x_2\) in diesem Nutzenoptimum?

1. Schritt: Problemformulierung. \[\begin{aligned} \max_{x_1,x_2} & U(x_1,x_2) = x_1^{0.75}x_2^{0.5}\\ \mbox{unter der NB:} & {p_1}x_1 + {p_2}x_2 = I\\ & 0.5x_1 + 1x_2 = 650 \end{aligned}\]

2. Schritt: Die Lagrangefunktion. \[\begin{aligned} {L}(x_1,x_2,\lambda) &=& U(x_1,x_2)-\lambda({p_1}x_1 + {p_2}x_2 - I) \\ &=& x_1^{0.75}x_2^{0.5}-\lambda(0.5x_1 + 1x_2 - 650) \end{aligned}\]

3. Schritt: Die Bedingungen 1. Ordnung. \[\begin{aligned} \frac{\partial {L}(x_1,x_2,\lambda)}{\partial x_1} & = &0.75x_1^{0.75-1}x_2^{0.5}-0.5\lambda=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{0.75x_1^{-0.25}x_2^{0.5}}{0.5}=\lambda\\ %% \frac{\partial {L}(x_1,x_2,\lambda)}{\partial x_2} & = & 0.5x_2^{0.5-1}x_1^{0.75}-1\lambda=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{0.5x_2^{-0.5}x_1^{0.75}}{1}=\lambda\\ %% \frac{\partial {L}(x_1,x_2,\lambda)}{\partial \lambda} & = & -(0.5x_1+1x_2-650)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0.5x_1+1x_2=650 \end{aligned}\]

4. Schritt: Auflösen des Gleichungssystems.

Nach Auflösung der Gleichungen (1) und (2) nach \(\lambda\) können diese gleichgesetzt werden. Man erhält \(x_1=x_1(x_2)\) (möglich ist natürlich auch \(x_2=x_2(x_1)\)). \[\begin{aligned} \frac{0.75}{0.5}\left(\frac{x_2^{0.5}}{x_1^{0.25}}\right) &=&\frac{0.5}{1}\left(\frac{x_1^{0.75}}{x_2^{0.5}}\right)\\ \frac{0.75}{0.5} x_2 &=& \frac{0.5}{1} x_1 \\ x_1 &=& \frac{0.75}{0.5} \cdot \frac{1}{0.5} x_2 = 3 x_2 \end{aligned}\] Diese Gleichung drückt das Austauschverhältnis beider Güter im Nutzenoptimum aus (\(\frac{x_1}{x_2}~=~3.00\)). Gleichung (3) beschränkt jedoch als Budgetrestriktion diese Möglichkeiten. Die numerischen Werte für \(x_1\), \(x_2\), unter gegebener Nebenbedingung, sind die optimalen Güterkombinationen bei verfügbarem Einkommen, Preisen und individueller Nutzenfunktion.

Eingesetzt in die dritte Bedingung 1. Ordnung ergibt: \[\begin{aligned} && 0.5x_1 + 1x_2 = 650\\ && 0.5 \cdot (3x_2) + 1x_2 = 650\\ && ~\rightarrow~ x_2 = 260 \approx 260.00\\ % && ~\rightarrow~ x_1 = 3 \cdot x_2 = 780 \approx 780.00 \ \end{aligned}\]

Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge \(x_2 = 260.00\).

d

Die Funktion \[\begin{aligned} F(x_1,x_2) = 82 \cdot x_1 + 68 \cdot x_2 \end{aligned}\] besitzt unter der Nebenbedingung \[\begin{aligned} 16 \cdot x_1^2 + 64 \cdot x_2^2 = 1024 \end{aligned}\] zwei lokale Extremstellen. Bezeichne \((a_1, a_2)\) jene Extremstelle, in der \(F\) den größeren Wert annimmt, und \((b_1, b_2)\) jene Extremstelle, in der \(F\) den kleineren Wert annimmt.

Welchen Wert hat \(F(a_1,a_2)\)?

Die zugehörige Lagrangefunktion ist \[\begin{aligned} L(x_1, x_2, \lambda) = 82 \cdot x_1 + 68 \cdot x_2 - \lambda \cdot (16 \cdot x_1^2 + 64 \cdot x_2^2 - 1024). \end{aligned}\] Somit erhalten wir die Bedingungen 1. Ordnung \[\begin{aligned} 82 - \lambda \cdot (2 \cdot 16 \cdot x_1) &=& 0, \\ 68 - \lambda \cdot (2 \cdot 64 \cdot x_2) &=& 0, \\ -(16 \cdot x_1^2 + 64 \cdot x_2^2 - 1024) &=& 0. \end{aligned}\] Aus den ersten beiden Gleichungen berechnen wir zunächst \[\begin{aligned} x_1 &=& \frac{82}{2 \cdot 16 \cdot \lambda}, \\ x_2 &=& \frac{68}{2 \cdot 64 \cdot \lambda}, \end{aligned}\] durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die dritte Gleichung folgt dann \[\begin{aligned} \frac{6724}{4 \cdot 16 \cdot \lambda^2} + \frac{4624}{4 \cdot 64 \cdot \lambda^2} = 1024, \end{aligned}\] also \[\begin{aligned} \lambda^2 = \frac{\frac{6724}{4 \cdot 16} + \frac{4624}{4 \cdot 64}}{1024}, \end{aligned}\] woraus wir schließlich \[\begin{aligned} |\lambda| = \sqrt{\frac{\frac{6724}{4 \cdot 16} + \frac{4624}{4 \cdot 64}}{1024}} = 0.346755 \end{aligned}\] erhalten. Die positive Lösung \(\lambda_1 = 0.35\) liefert dabei die Koordinaten \[\begin{aligned} x_1 &=& \frac{82}{2 \cdot 16 \cdot \lambda_1} = 7.389937, \\ x_2 &=& \frac{68}{2 \cdot 64 \cdot \lambda_1} = 1.53206, \end{aligned}\] die negative Lösung \(\lambda_2 = -0.35\) die Koordinaten \[\begin{aligned} x_1 &=& \frac{82}{2 \cdot 16 \cdot \lambda_2} = -7.389937, \\ x_2 &=& \frac{68}{2 \cdot 64 \cdot \lambda_2} = -1.53206. \end{aligned}\] Die Auswertung von \(F\) an diesen Stellen ergibt \[\begin{aligned} F(7.389937, 1.53206) = 710.154913 \end{aligned}\] und \[\begin{aligned} F(-7.389937, -1.53206) = -710.154913. \end{aligned}\]

\(F(a_1,a_2)\) nimmt gerundet auf zwei Nachkommastellen also den Wert \(710.15\) an.