10  Gemischte Aufgaben

Das folgende Kapitel enthält gemischte Aufgaben zu den behandelten Themengebieten. Die Reihenfolge der Aufgaben ist zufällig.

  1. Stellen Sie sich folgendes dreistufiges System für Sicherheitskontrollen an Flughäfen vor, das verhindern soll, dass Personen mit unerlaubten Stoffen an Bord eines Flugzeugs geraten: 1) Es wird ein 3D-Scan durchgeführt. 2) Es wird eine Leibesvisitation durchgeführt. 3) Es werden Spürhunde eingesetzt.

    Gehen Sie von folgenden Wahrscheinlichkeiten aus, dass bei einer Person mit einem unerlaubten Stoff dieser Stoff gefunden wird:

    • 3D-Scan: 90%

    • Leibesvisitation: 93%

    • Spürhunde: 95%

    Unter der Annahme, dass die Ereignisse, dass ein unerlaubter Stoff in den jeweiligen Stufen gefunden wird, stochastisch unabhängig sind, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis:

    Bei einer Person mit einem unerlaubten Stoff, bei der im 3D-Scan nichts aufgespürt wurde, wird der Stoff in der Leibesvisitation oder durch Spürhunde gefunden.

    Lösung: \(0.9965\)

  2. In einem Land X mit einer Bevölkerung von 4 Millionen Menschen nimmt die Bevölkerung jedes Jahr um 3% zu.
    Wie viele Jahre dauert es in etwa bis 10 Millionen Menschen in dem Land leben?

    Lösung: \(31\)

  3. Eine Firma produziert ein billiges technisches Gerät, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 11% funktionsuntüchtig ist. Bei einer Kontrolle werden 10 Geräte auf Funktionsfähigkeit überprüft.
    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder mehr kaputte Geräte entdeckt werden?

    Lösung: \(30.28\%\)

  4. Bei Menschen mit Covid-19 hat man gefunden, dass ein Antigentest in 85% aller Fälle positiv ist und ein PCR-Test ist in 90% aller Fälle positiv. Zudem gilt in 81% der Fälle, dass sowohl der Antigentest als auch der PCR-Test ein positives Ergebnis liefern.
    In wieviel Prozent der Fälle ist mindestens einer der beiden Tests positiv?

    Lösung: \(94\%\)

  5. Berechnen Sie das Produkt \(\mathbf C=\mathbf A\cdot \mathbf B\) mit den Angaben: \[ \mathbf A= \begin{pmatrix}2&4&4\\2&9&9\\1&4&5 \end{pmatrix},\quad \mathbf B= \begin{pmatrix}4&3&6\\1&8&3\\8&6&9 \end{pmatrix}. \] Welchen Wert hat \(\mathbf C_{2 3}\)?

    Lösung: \(120\)

  6. In einer Stadt wurden an 5 Tagen hintereinander folgende Zahlen \(x_i\) an Neuinfektionen mit SARS-COV2 erhoben: \[ \begin{array}{c|rrrrr} \text{Tag} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline x_i & 68 & 55 & 22 & 17 & 42 \end{array} \] Bestimmen Sie eine Zahl \(m\) so, dass \[ \displaystyle \sum_{i=1}^5(x_i-m)^2\quad\to\quad\text{Minimum}. \]

    Lösung: \(40.80\)

  7. Eine Investorin stellt ein Portfolio aus drei Wertpapieren zusammen, von denen das erste festverzinslich ist mit Zinssatz \(r= 0.02\). Die beiden anderen Wertpapiere A und B haben Renditen mit den Erwartungswerten \(\mu_1= 0.115\) und \(\mu_2= 0.085\), und den Varianzen \(\sigma_1^2= 0.035\) und \(\sigma_2^2= 0.03\). Die Kovarianz der Renditen beträgt \(\sigma_{xy}= 0.025\). Die Investorin möchte ein Portfolio \(P=(a_0,a_1,a_2)\) mit erwarteter Rendite \(E\) und Varianz \(V\) erstellen. Dabei beschreiben \(a_0,a_1,a_2\) die jeweiligen Anteile der drei Wertpapiere im Portfolio.

    Welche der folgenden Aussagen ist/sind richtig?

    1. Wenn \(a_0=0\), dann ist \(E(P)=-0.03 a_2+ 0.115\).

    2. Wenn \(a_0=0\), dann ist \(V(P)=0.015 a_2^2 - 0.02 a_2 + 0.035\).

    3. Bei der Lagrange-Methode können gleichzeitig die erwartete Rendite maximiert und das Risiko minimiert werden.

    Lösung: Nur Aussagen 1 und 2 sind richtig.

  8. Drei Unbekannte \(u, v \text{ und } w\) erfüllen die folgende Gleichungsmatrix: \[ \left( \begin{array}{ccc|r} 1 & 2 & 3 & 101\\ 0 & 2 & 3 & 70\\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right) \] Bestimmen Sie \(u+v+w\).

    Lösung: \(66\)

  9. Berechnen Sie die Minimalstelle der folgenden Funktion: \[f(x) = \ln(x^{4}-108x+100).\]

    Lösung: \(3\)

  10. Ein 30-jähriger Mann schließt eine Erlebensversicherung über ein Kapital von 88000 GE ab, auszuzahlen nach 15 Jahren. Der versicherungsrechtlich verbindliche Zinssatz beträgt 7 Prozent. Seine Sterbewahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres ist \(q_m=0.0013\).
    Wie hoch ist die jährliche Rendite eines überlebenden Versicherungsnehmers aus einem solchen Versicherungsvertrag? (Tipp: Berechnen Sie zuerst die entsprechende Risikoprämie.)

    Lösung: \(0.0714\)

  11. Berechnen Sie \(\int_0^{2} x^2\sqrt{1+x^3} dx\).

    Lösung: \(\frac{52}9 \approx 5.78\)

  12. Am 26. März 2020 verstarben im Land \(X\) 8164 Menschen an Covid-19, am nächsten Tag waren es bereits 8339. Wenn sich das prozentuelle Wachstum pro Tag nicht ändert, wieviele Tage dauert es, bis sich die Anzahl der Toten verdoppelt hat?

    Lösung: \(32.7\) Tage

  13. Gegeben sind die beiden Matrizen \[ \mathbf A=\left(\begin{array}{rr} 4 & 3\\ 9 & 7\end{array}\right),\quad \mathbf B=\left(\begin{array}{rr} -6 & 6\\ 18 & 0\end{array}\right),\quad \mathbf I = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \] Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

    1. Mit den obigen Angaben gilt: \[ \mathbf B=2 \mathbf A - 14\mathbf I \]

    2. Mit den obigen Angaben gilt für eine beliebige \(2\times 2\)-Matrix \(\mathbf X\): \[ \mathbf X\mathbf A+\mathbf B\mathbf X=(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf X \]

    3. Mit den obigen Angaben gilt: \[ \mathbf A(\mathbf B+\mathbf I) = \mathbf B\mathbf A+\mathbf A \]

    Lösung: 1. und 3.

  14. Ein Unternehmen mit quadratischer Kostenfunktion bietet in einem Markt mit vollständiger Konkurrenz ein Produkt an. Das Unternehmen macht bei x produzierten Einheiten im Jahr einen Gewinn von \(G(x) = -2x^2 +1000x - 25000\) und es produziert in diesem Jahr 250 Einheiten. Nächstes Jahr sinkt der Marktpreis des Gutes um 200 GE während die Produktionskostenfunktion die gleiche bleibt.
    Wie viele Einheiten muss das Unternehmen nächstes Jahr produzieren, wenn es seinen Gewinn im nächsten Jahr maximieren möchte?

    Lösung: \(200\)

  15. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es bezeichne \(X\) die Augenzahl beim ersten Wurf und \(Y\) die Augenzahl beim zweiten Wurf.
    Wie groß ist \(P(X \leq Y)\)?

    Lösung: \(0.58\)

  16. Um die Anzahl der Testungen im Zuge der Covid-19 Pandemie deutlich zu erhöhen, wurde die (schon länger bekannte) Methode des Pool Testing vorgeschlagen: Im konkreten Fall werden die Schleimhautproben von 25 Personen (nach Sicherung des ursprünglichen Probenmaterials) zu einer gemeinsamen Probe vermengt und anschließend der PCR-Test auf Nachweis der Viren-RNA auf die gemeinsame Probe angewendet. Wenn dieser Test negativ verläuft, dann kann man allen 25 Probanden ein negatives Testergebnis zuweisen. Ist der Test hingegen positiv, dann müssen zusätzlich die gesicherten Proben Person für Person getestet werden. Durch das Pool Testing kann es zu teils erheblichen Effizienzgewinnen kommen im Hinblick auf die durchschnittliche Gesamtanzahl an Tests.
    Es sei \(X\) die Anzahl der PCR-Tests, die notwendig sind, um jedem der 25 Patienten ein positives oder negatives Testergebnis zuzuweisen.
    Berechnen Sie \(E(X)\), wenn die Wahrscheinlichkeit für einen positiven PCR-Test in der Population 4.5 % beträgt. (Tipp: \(X\) kann nur zwei verschiedene Werte annehmen.)

    Lösung: \(18.09\)

  17. Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\), die bei einem Experiment beobachtet werden können, wurde folgende Vierfeldertafel ermittelt: \[ \displaystyle \begin{array}{l|cc|c} & B & B' &\\ \hline A & 0.3 & 0.1 & 0.4 \\ A'& 0.4 & 0.2 & 0.6\\ \hline &0.7 & 0.3 & 1.0 \end{array} \] Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

    1. \(P(A'\cap B) = 0.3\).

    2. \(P(B'|A) = 0.75\).

    3. \(A\) und \(B\) sind unabhängig.

    Lösung: keine Aussage.

  18. Ein Kapital wird monatlich mit dem effektiven Jahreszinssatz von 6% verzinst.
    Wie hoch ist der nominelle Zinssatz?

    Lösung: \(5.84\%\)

  19. Auf einer Insel wird eine bis dahin noch unbekannte Tierart entdeckt. Um die mittlere Körpergröße dieser neuen Tierart zu schätzen, sammelt man \(n\) zufällig ausgewählte Exemplare dieser Tierart ein, misst deren individuelle Körpergröße und bildet den Durchschnitt dieser Messungen.
    Wenn man annimmt, dass die Standardabweichung der Körpergröße dieser Tierart 7cm beträgt, wie groß muss \(n\) mindestens sein, damit die Standardabweichung der Schätzung höchstens 1cm beträgt?

    Lösung: \(49\)

  20. Ein Investor verteilt sein Vermögen auf zwei Aktien, deren Renditen Zufallsgrößen \(X,Y\) sind und gleiche erwartete Rendite haben. Dabei sind die Varianzen bzw. Kovarianz wie folgt: \[ \sigma_X^2 = 0.36, \quad \sigma_Y^2 = 0.36, \quad \sigma_{X,Y} = 0.1718 \] Finden Sie den Anteil \(a\) des Vermögens der in Aktie \(X\) investiert werden muss um die Varianz der Portfoliorendite \(aX + (1-a)Y\) zu minimieren.

    Lösung: \(1/2\)

  21. Berechnen Sie den Barwert einer 10-jährigen Rente, die zum Ende jedes Monats eine Zahlung von 1558.15 GE leistet, wenn der jährliche effektive Zinssatz 8% beträgt. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.

    Lösung: \(130000\)

  22. Bestimmen Sie die Hesse-Matrix \[ H(x,y) = \begin{pmatrix}h_{11}(x,y)&h_{12}(x,y)\\h_{21}(x,y)&h_{22}(x,y) \end{pmatrix} \] von \(f(x,y)=\ln(2x^{5y})\) an der Stelle \((x_0,y_0)=(4,3)\).

    Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

    1. \(h_{11}(x_0,y_0)=-1.95\)

    2. \(h_{12}(x_0,y_0)=1.25\)

    3. \(h_{22}(x_0,y_0)=0\)

    Lösung: Nur Aussagen 2 und 3 sind richtig.

  23. Ein Unternehmen produziert ein bestimmtes Gut. Aufgrund von Lieferschwankungen bei den Zulieferprodukten ist die Anzahl \(X\) der produzierten Einheiten des Guts pro Tag zufällig.
    Die Verträge mit den Kunden des Unternehmens schreiben vor, dass es an mindestens 98 Prozent aller Tage mindestens 1000 Einheiten des Guts liefern muss.
    Was ist die erwartete Anzahl an produzierten Einheiten des Guts, wenn \(X\) normalverteilt ist mit Standardabweichung 100?

    Lösung: \(1205.37\)

  24. Eine fairer Würfel wird zweimal geworfen. Es bezeichne \(X\) die Augenanzahl beim ersten Wurf und \(Y\) die Augenzahl beim zweiten Wurf.
    Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Augenzahlen höchstens 6 ist gegeben, dass beim ersten Wurf die gleiche Augenzahl gefallen ist wie beim zweiten Wurf. D.h. berechnen Sie \[P(X+Y\leq 6 | X=Y).\] Runden Sie Ihr Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.

    Lösung: \(0.50\)

  25. Gegeben ist eine Zufallsgröße mit ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktion: \[ \small \begin{array}{c|rrrrrrrrrr} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline f(x) & 0.17 & 0.19 & 0.02 & 0.11 & 0.11 & 0.02 & 0.02 & 0.13 & 0.17 & 0.06 \end{array} \] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) eine gerade Zahl ist.

    Lösung: \(0.51\)

  26. Eine Firma bestellt regelmäßig Nägel bei einem Werkzeughersteller und stellt fest, dass der Werkzeughersteller recht ungenau bei der Lieferzahl ist. Auf \(N\) bestellte Nägel erhält die Firma vom Werkzeughersteller stattdessen \(X\) Nägel, wobei \(X\) normalverteilt mit Mittelwert \(N\) und Varianz \(N\) ist.
    Wie viele Nägel muss die Firma bestellen, um mit 90% Wahrscheinlichkeit zumindest 10000 Nägel zu bekommen? (Tipp: Berechnen Sie zunächst \(a\), wobei \(a = \sqrt{N}\).)

    Lösung: \(10129\)

  27. Gegeben sind die vier Matrizen \[ \begin{aligned} \mathbf A & = \left(\begin{array}{rr} 3 & 0\\ 0 & 4\\ \end{array}\right),\quad \mathbf B = \left(\begin{array}{rr} -5 & 0\\ 0 & -1\\ \end{array}\right),\quad \mathbf C = \left(\begin{array}{rr} -5 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array}\right),\\ \mathbf X & = \left(\begin{array}{rr} 3 & -3\\ 4 & 3\\ \end{array}\right) \end{aligned} \] Berechnen Sie \(\mathbf Z=\mathbf A\mathbf X+\mathbf B\mathbf X+\mathbf C\mathbf X\). Was ist der Wert von \(z_{21}\)?

    Lösung: \(16\)

  28. Gegeben ist die folgende Gleichungsmatrix: \[ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 5 \end{array}\right) \] Bestimmen Sie die vollständige Lösungsmenge des Gleichungssystems.

    Lösung: \(\left(\begin{array}{r} -4 \\ -10 \\ 9 \end{array}\right) + \alpha \left(\begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ -4 \end{array}\right)\)

  29. Es seien \(X\) und \(Y\) Zufallsgrößen mit \(\sigma^2_x= 19\), \(\sigma_{xy}= 7\). Zudem ist bekannt, dass \(V(15X+10Y)=7775\).
    Bestimmen Sie daraus die Varianz von \(Y\).

    Lösung:\(\sigma_y^2=14\)

  30. Berechnen Sie \(f_{12}''(v,w)\) von \[ \begin{gathered} f(v,w)=10\cdot\frac{7+v}{8+w} \end{gathered} \] an der Stelle \(v=5\) und \(w=5\).

    Lösung: \(-0.0592\)

  31. In einem Land XY leben zwei ethnische Gruppen A und B. Bei einem Covid-19 Screening Programm wurde festgestellt, dass 12 Prozent der Gruppe A positiv getestet wurden, während es bei Gruppe B 7 Prozent waren. Der Anteil von Gruppe A an der Gesamtbevölkerung beträgt 22 Prozent.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der positiv getestet wurde, der Bevölkerungsgruppe A angehört.

    Lösung: \(0.3259\)

  32. Eine quadratische Kostenfunktion verläuft durch die Punkte \(P_0=(0,0)\), \(P_1=(2,26)\) und \(P_3=(5,140)\).
    Bestimmen Sie die Gleichung der Kostenfunktion.

    Lösung: \(C(x)=5x^2 +3x\)

  33. Eine Firma macht einen Gewinn von \(G(p) = 1000\cdot \sqrt{2p-70} \cdot e^{-p/30}\) wobei \(p\geq 35\) die Anzahl der produzierten Güter pro Jahr ist.
    Bei welchem \(p\) maximiert die Firma ihren Gewinn?

    Lösung: 50

  34. Die Funktion \(f(x,y)=x^2+y\) wird unter der Nebenbedingung \(8 x + 10 y=25\) optimiert. Sie besitzt ein Minimum.
    Was ist der Funktionswert in diesem Minimum (gerundet auf 2 Nachkommastellen)?

    Lösung: \(2.34\)

  35. Eine Matrix \(\mathbf X = \left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & c \end{matrix}\right)\) mit unbekannten \(a, b, c\geq 0\) erfüllt die Gleichung: \[ \mathbf X\mathbf X = \left(\begin{matrix} 16 & 28 \\ 0 & 9 \end{matrix}\right). \] Wie lautet \(b\)?

    Lösung: \(4\)

  36. Eine Investorin stellt ein Portfolio aus drei Wertpapieren zusammen, von denen das erste festverzinslich ist mit Zinssatz \(r\). Die beiden anderen Wertpapiere A und B haben Renditen mit den Erwartungswerten \(\mu_1\) und \(\mu_2\), und den Varianzen \(\sigma_1^2\) und \(\sigma_2^2\). Die Kovarianz der Renditen beträgt \(\sigma_{xy}\). Die Investorin möchte ein Portfolio mit erwarteter Rendite \(E\) und minimaler Varianz \(V\) erhalten. Die jeweiligen Anteile der drei Wertpapiere im Portfolio, über die optimiert werden soll, seien durch \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2\) beschrieben.

    Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

    1. Die zu untersuchende Lagrange-Funktion ist \[ \begin{array}{rcl} L(\alpha_1,\alpha_2,\lambda) & = & r+\alpha_1(\mu_1-r)+\alpha_2(\mu_2-r)\\ & & -\lambda(\alpha_1^2\sigma_1^2+2\alpha_1\alpha_2\sigma_{xy}+\alpha_2^2\sigma_2^2-V). \end{array} \]

    2. Die zu untersuchende Lagrange-Funktion ist \[ \begin{array}{rcl} L(\alpha_1,\alpha_2,\lambda) & = & \alpha_1^2\sigma_1^2+2\alpha_1\alpha_2\sigma_{xy}+\alpha_2^2\sigma_2^2\\ & & -\lambda(r+\alpha_1(\mu_1-r)+\alpha_2(\mu_2-r)-E). \end{array} \]

    3. Es muss immer \(\alpha_2=1-\alpha_1\) gelten.

    4. Ein optimales Portfolio löst das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen \[ \alpha_1\sigma_1^2+\alpha_2\sigma_{xy}=\frac{\mu_1-r}{2\lambda} \text{ und } \alpha_1\sigma_{xy}+\alpha_2\sigma_{2}^2=\frac{\mu_2-r}{2\lambda}. \]

    Lösung: nur 2.

  37. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem: \[ \begin{array}{rrrrrrrr} & x_1 & + & 3x_2 & - & 2x_3 & = & 3\\ - & 6x_1 & - & 4x_2 & + & 18x_3 & = & -5\\ & 3x_1 & + & 2x_2 & - & 9x_3 & = & 3\\ \end{array} \] Finden Sie alle Lösungen des Gleichungssystems.

    Lösung: unlösbar

  38. Eine Firma habe eine quadratische Kostenfunktion der Form \(1000 + 20X + 0.3X^2\), wobei \(X\) die Menge an produzierten Gütern bezeichne.
    Berechnen Sie die erwarteten Kosten des Unternehmens unter der Annahme, dass \(X\) eine Zufallsvariable sei mit Erwartungswert 100 und Standardabweichung 50.

    Lösung: \(6750\)

  39. Gegeben sind die Matrizen \[ \mathbf A=\begin{pmatrix} 3& 1\\3& -2\end{pmatrix},\quad \mathbf B=\begin{pmatrix} -45& 27\\-36& -9\end{pmatrix}. \] Lösen Sie die Matrixgleichung \(\mathbf A\mathbf X=\mathbf B\) für \(\mathbf X\in\mathbb{R}^{2\times 2}\) und bestimmen Sie die Determinate \(\det(\mathbf X)\).

    Lösung: \(\det(\mathbf X)=-153\)

  40. In der mathematischen Epidemiologie spielt die Funktion \[I(S)=\dfrac{1}{\sigma}\ln(S)-S+1-\dfrac{1}{\sigma}\ln(0.983)\] eine wichtige Rolle: hier ist \(I\) der prozentuelle Anteil der Menschen einer Population, die mit einem Erreger infiziert sind, \(S\) der Anteil der Menschen, die noch nie infiziert waren und daher keine Immunabwehr gegen den Erreger haben. Sie können durch Kontakte mit den Infizierten angesteckt werden. Der Parameter \(\sigma\) ist die Kontaktzahl, das ist die mittlere Zahl der Sekundärinfektionen, die ein Infizierter verursacht.
    Berechnen Sie den maximalen Anteil der Infizierten an der Population \(I_{\max}\), wenn die Kontaktzahl \(\sigma=1.55\) ist.

    Lösung: \(8.3 \%\)

  41. Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Man weiß, dass bei mindestens einem der beiden Würfe ein Kopf gefallen ist.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Kopf gefallen ist?

    Lösung: \(1/3\)

  42. In wie vielen Jahren wird sich ein Kapital verdoppeln, wenn es die erste Hälfte der Zeit mit 5% nominellem Zinssatz halbjährig verzinst wird und die zweite Hälfte der Zeit mit 7% nominellem Zinssatz halbjährig verzinst wird?

    Lösung: \(11.73\)

  43. Der Stromverbrauch pro Tag in einem gewissen Land wird mittels einer Zufallsvariable \(X\) beschrieben. Diese ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 200 Gigawattstunden und einer Standardabweichung von 20 Gigawattstunden.
    Welche Kraftwerkskapazität (in Gigawattstunden pro Tag) muss das Land vorhalten, damit es in 95% aller Tage den Stromverbrauch ohne Importe decken kann? (Runden Sie auf eine ganze Zahl.)

    Lösung: \(233\)

  44. Ein Unternehmen hat vier Arten von Beschäftigten:

    • männlich und ganztags beschäftigt

    • männlich und halbtags beschäftigt

    • weiblich und ganztags beschäftigt

    • weiblich und halbtags beschäftigt

    Das Unternehmen hat insgesamt 73 Mitarbeiter und Mitarbeiterinnen. Die Anzahl der Frauen, die ganztags beschäftigt sind, beträgt 13, die Anzahl aller männlichen Mitarbeiter ist 26. Ganztags beschäftigt sind 31 Mitarbeiter und Mitarbeiterinnen.
    Wieviele Frauen sind halbtags beschäftigt?

    Lösung: \(34\)

  45. Finden Sie die Lösung \(\mathbf X\) der Matrixgleichung \(\mathbf A\mathbf X\mathbf A^{-1}+\mathbf A=\mathbf I\) mit der Angabe \[ \mathbf A=\left(\begin{array}{rr} 4 & -7\\ 5 & -9\\ \end{array}\right) \] Welchen Wert hat \(x_{22}\)?

    Lösung: \(10\)

  46. Finden Sie eine Stammfunktion von \(x\sqrt{1+4x^2}\).

    Lösung: \(\displaystyle \frac{1}{12}(1+4x^2)^{3/2}+c\)